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时间:2020-07-06
《2019高考数学(文科)压轴提升练(二) Word版含解析.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、压轴提升卷(二)解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.(本题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)及点D,动直线l:y=kx+1与抛物线C交于A,B两点,若直线AD与BD的倾斜角分别为α,β,且α+β=π.(1)求抛物线C的方程;(2)若H为抛物线C上不与原点O重合的一点,点N是线段OH上与点O,H不重合的任意一点,过点N作x轴的垂线依次交抛物线C和x轴于点P,M,求证:
2、MN
3、·
4、ON
5、=
6、MP
7、·
8、OH
9、.解:(1)把y=kx+1代入x2=2py得x2-2pkx-2p
10、=0,设A,B,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.由α+β=π可知,直线AD的斜率与直线BD的斜率之和为零,所以+=0,去分母整理得(x1+x2)(x1x2+p2)=0,即2pk(p2-2p)=0,由该式对任意实数k恒成立,可得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)证明:设过点N的垂线方程为x=t(t≠0),由得即点P.令=λ,则N,所以直线ON的方程为y=x,由且x≠0得即点H,所以===λ,所以=,即
11、MN
12、·
13、ON
14、=
15、MP
16、·
17、OH
18、.2.(本题满分12分)已知函数f(x)
19、=(x-k)ex+k,k∈Z,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)当k=0时,求函数f(x)的单调区间;(2)当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)+5>0恒成立,求k的最大值.解:(1)当k=0时,f(x)=xex,∴f′(x)=(x+1)ex.由f′(x)=0,得x=-1,∴当x>-1时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当x<-1时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.∴函数f(x)的单调递增区间是(-1,+∞),单调递减区间是(-∞,-1).(2)由题意知,5+(x-
20、k)ex+k>0对x∈(0,+∞)恒成立.∵当x∈(0,+∞)时,ex-1>0,∴不等式x+>k对x∈(0,+∞)恒成立.设h(x)=x+,则h′(x)=.令F(x)=ex-x-6,则F′(x)=ex-1.当x∈(0,+∞)时,F′(x)>0,∴函数F(x)=ex-x-6在(0,+∞)上单调递增.又F(2)=e2-8<0,F(3)=e3-9>0,∴F(2)·F(3)<0.∴存在唯一的x0∈(2,3),使得F(x0)=0,即ex0=x0+6.∴当x∈(0,x0)时,F(x)<0,h′(x)<0,此
21、时函数h(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,F(x)>0,h′(x)>0,此时函数h(x)单调递增.∴当x=x0时,函数h(x)有极小值(即最小值)h(x0).∵h(x0)=x0+=x0+1∈(3,4).又k<h(x0),k∈Z,∴k的最大值是3.
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