高中数学 2.5 与圆有关的比例线段教案 新人教A版选修4-1.doc

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1、五与圆有关的比例线段课标解读1.会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理．2.能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明.1．相交弦定理(1)文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)图形语言如图2－5－1，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.图2－5－12．割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(2)图形语言图2－5－2如图2－5－2，⊙O的割线PAB与PCD，则有：PA·PB＝PC·PD.3．切割线定理(1)文字语言从圆外

2、一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(2)图形语言如图2－5－3，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.图2－5－34．切线长定理(1)文字叙述从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示如图2－5－4，⊙O的切线PA、PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.图2－5－41．能否用三角形相似证明相交弦定理？【提示】　能．如图，⊙O的弦AB、CD相交于P点，连接AD、BC，则△APD∽△CPB.故有＝，即PA·PB＝P

3、C·PD.2．垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系？【提示】　如图，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论：(1)PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO；(2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE；(3)若AC平分∠BAP，则C为△PAB的内心；(4)OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2；(5)＝，＝，PD⊥AB；(6)∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BPD.3．应用切割线定理应注意什么？【提示】　应用切割线定理应记清关系式，防止做题

4、时出错．(1)如图所示，把PC2＝PA·PB错写成PC2＝PO·PB；(2)如图所示，把关系式PT2＝PB·PA错写成PT2＝PB·BA，把关系式PB·PA＝PD·PC错写成PB·BA＝PD·DC.相交弦定理图2－5－5　如图2－5－5，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC＝2，PA＝8，则tan∠ACD的值为________．【思路探究】　由垂径定理知，点P是BD的中点，先用相交弦定理求PD，再用射影定理或勾股定理求AD、CD，最后求tan∠ACD.【自主解答】　∵BD⊥AC，∴BP＝PD，∴PD2＝PA·PC＝2×8

5、＝16，∴PD＝4.连接AD，则∠ADC＝90°，∴tan∠ACD＝.又AD＝＝＝4，CD＝＝＝2，∴tan∠ACD＝＝2.【答案】　21．解答本题的关键是先用相交弦定理求PD，再用勾股定理或射影定理求AD、CD.2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2013·湖南高考)如图2－5－6，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．图2－5－6【解析】　由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.又PA＝PB＝

6、2，PD＝1，则PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，∴OE＝＝＝.【答案】　切割线定理图2－5－7　已知如图2－5－7所示，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求：(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.【思路探究】　由AB2＝BM·BN求得BC→由CD·AC＝CN·CM求得CD→结果【自主解答】　(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)．解得x＝，∴BC＝3x＝3.(2)

7、在Rt△ABC中，AC＝＝，由割线定理，得CD·AC＝CN·CM，由(1)可知，CN＝，BC＝3，CM＝BC－BM＝3－＝2，AC＝，∴CD＝＝，∴r＝(AC－CD)＝(－)＝.1．解答本题的关键是先根据切割线定理求BC.2．切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．图2－5－8　(2013天津高考)如图2－5－8，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为

8、________．【解析】　因为AB∥DC，所以四边形ABCD是等腰梯形，所以BC＝AD＝AB＝5.又AE是切线，所以AE∥BD，AE2＝BE·EC＝4(4＋5)＝36，所以AE＝6.因为∠CDB＝∠BAE，∠BCD＝∠ABE，所以△ABE∽△DCB，所以＝，于是BD＝＝.【