高中数学 2.4 向量的数量积教案1 苏教版必修4.doc

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1、第1课时　数量积的定义(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的数量积及其几何意义和应用．(2)会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题．(3)理解两个向量的数量积的运算律．2．过程与方法经历平面向量数量积的形成过程，体会用数量积及其运算处理简单的物理问题、代数问题、几何问题的数学思想．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，培养学生对事物的洞察能力和创新能力．●重点难点重点：平面向量数量积的含义及其几何意义．难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题．(教师用书独具)●教学建议1．关于向量夹角的教学教学时，建议教师从向量的概念出

2、发，结合非零向量的方向性，利用数形结合的思想，充分展示向量间的各种关系，最后给出向量夹角的概念，并就零向量的特殊情形作出补充．2．关于向量数量积的教学教学时，建议教师利用学生熟悉的物理知识——做功，得到向量的数量积的含义并就其物理意义、几何意义作出明确解释．让学生明确向量的数量积是数量而并非向量．通过对本节知识的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系，在让学生以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积的同时，激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神．3．关于向量的数量积运算的教学教学时，建议教师从学生熟悉的数量积的定义出发，类

3、比实数的运算由学生自主推导出数量积的三种运算律：交换律、分配律、结合律；然后提出问题“向量数量积的有关性质”，让学生自主发现并给出证明．然后给出典例示范．最后教师点评并强调在实数乘法中适用的运算律和运算方法，有些是不能照搬到向量的数量积运算中的．整个教学过程培养学生的类比、归纳、探索能力，提高学生的数学素养．●教学流程⇒引导学生类比实数的运算，探究向量的数量积满足的运算律、交换律、分配律、结合律并给出证明.⇒⇒⇒⇒⇒课标解读1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)3.能运用数量积的运算性质和运算律

4、解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)向量的数量积【问题导思】　　如果一个物体在力F的作用下产生位移s，且F与s的夹角为θ，那么力F所做的功W等于什么？【提示】　W＝

5、F

6、

7、s

8、cosθ.　(1)向量的数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量

9、a

10、

11、b

12、cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝

13、a

14、

15、b

16、cosθ.规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个向量的夹角：对于两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，其范围是0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝

17、180°时，a与b反向；当θ＝90°时，称向量a与b垂直，记作a⊥b.向量的数量积的运算律　向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算　已知

18、a

19、＝2，

20、b

21、＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．【思路探究】　利用向量数量积的定义和性质计算．【自主解答】　(1)a·b＝

22、a

23、

24、b

25、cos120°＝2×3×(－)＝－3.(2)a2－b2＝

26、a

27、2－

28、b

29、2

30、＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2

31、a

32、2＋5

33、a

34、

35、b

36、cos120°－3

37、b

38、2＝8－15－27＝－34.1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求

39、a

40、和

41、b

42、；③求数量积，即a·b＝

43、a

44、

45、b

46、cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．　本例中条件不变，如何求(2a＋3a)·(3a－2b)?【解】　(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9a·

47、b－6b2＝6×22＋5×2×3×(－)－6×32＝－45.求向量的模　(1)若向量a，b满足

48、a

49、＝，

50、b

51、＝2，且(a－b)⊥a，则

52、a＋b

53、等于________．(2)已知向量a，b满足

54、a

55、＝2，

56、b

57、＝3，

58、a＋b

59、＝4，求

60、a－b

61、.【思路探究】　(1)由(a－b)⊥a，求出a，b，再利用公式

62、a

63、＝求解．(2)由

64、a＋b

65、＝4可求a·b的值，再利用公式

66、a

67、＝求解．【自主解答】　(1)由于(a－b)⊥a，则(a－b)·a＝

68、a

69、2－a·b＝0，所以a·b＝2.所以

70、a＋b

71、2＝

72、a

73、2＋2a·b＋

74、b

75、2＝10，所以

76、a＋b

77、＝.【答案】

78、　(2)由已知，

79、a＋b

80、＝4，∴

81、a＋b

82、2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16，∵

83、a

84、＝