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1、等比数列【考纲要求】1．理解等比数列的概念，等比数列的通项公式.2．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.3．了解等比数列与指数函数的关系.4．灵活应用等比数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.【知识网络】等比数列等比中项通项公式及相关性质等比数列与函数的关系【考点梳理】【高清课堂：数列的概念知识要点】考点一：等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.考点二、等比数列的通项公式要点诠释：①方程观
2、点：知二求一；②函数观点：函数的图象上一群孤立的点；③当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；当时，等比数列是摆动数列；当时，等比数列是非零常数列。考点三、等比数列通项公式的主要性质：（1）等比中项：成等比数列，则；（2）通项公式的推广：；（3）若，则；（4）等比数列中，若.要点诠释：（1）方程思想的具体运用；（2）两式相乘除化简。【典型例题】类型一：等比数列的概念、公式例1.若数列为等比数列，,,求.思路分析：求解等比数列的项，首先要根据已知条件求出数列的通项公式。解析：法一：令数列的首
3、项为,公比为q，则有即，(2)÷(1)有,∴.∴.法二：∵为等比数列，∴即,∴.∴.法三：∵为等比数列，∴、、、,…也为等比数列，∴,∴又∵.∴点评：熟悉等比数列的概念，基本公式及性质，要依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。举一反三：【变式】已知等比数列，若，，求。法一：∵，∴，∴从而解之得，或，当时，；当时，。故或。法二：由等比数列的定义知，代入已知得将代入（1）得，解得或由（2）得或，以下同方法一。类型二、等比数列的性质【高清课堂：数列的概念典型例题二】例2.（1）等比数列中，，，，则( )A．B．C．D．(2)设为等比数
4、列的前n项和，已知,则公比q＝( )A．3B．4C．5D．6答案：AB解析：（1），所以又因为，则所以，则（2），两式相减：所以举一反三【变式1】等比数列中，若,求.解析：∵是等比数列，∴∴例3.若等比数列满足，则公比为（A）2（B）4（C）8（D）16思路分析：充分理解数列递推关系，并能灵活应用。解析：选B，因为等比数列满足，①所以②②①得．又因为，所以举一反三【变式】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。答案：216；法一：设这个等比数列为，其公比为，∵，，∴，∴。法二：设这个等比数列为，公比为，则，，加入
5、的三项分别为，，，由题意，，也成等比数列，∴，故，∴。类型三：等比数列的判断与证明例4．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？解析：∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1(n∈N+),∴a1=S1=51-1=4,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1,∴n∈N+时，an=4×5n-1由上述通项公式，可知{an}为首项为4，
6、公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。解析：p=2或p=3；∵{Cn+1-pCn}是等比数列，∴对任意n∈N且n≥2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+
7、(3-p)·3n-1]整理得：,解得：p=2或p=3,显然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3为所求.【变式2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.证明：设数列{an}、{bn}的公比分别为p,q，且p≠q为证{Cn}不是等比数列，只需证.∵,∴,又∵p≠q,a1≠0,b1≠0,∴即∴数列{Cn}不是等比数列.【变式3】判断正误：(1){an}为等比数列a7=a3a4；(2)若b2=ac，则a，b，c为等比数列；(3){an}，{bn}均为等比数列，则{anbn}为等比数列；(4){an}是公比
8、为q的等比数列，则、仍为等比数列；(5)若a，b，c成等比，则lo
