概率统计辅导讲义.doc

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1、概率论与数理统计考研辅导讲义目录第1讲随机事件和概率第2讲随机变量及其分布第3讲多维随机变量及其分布第4讲随机变量的数字特征与中心极限定理第5讲数理统计第1讲随机事件和概率1．随机现象及其统计规律性在客观世界中存在着两类不同的现象：确定性现象和随机现象．在一组不变的条件S下，某种结果必定发生或必定不发生的现象称为确定性现象．这类现象的一个共同点是：事先可以断定其结果．在一组不变的条件S下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象．这类现象的一个共同点是：事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种．一般来说，随机现象具有两重性：表面上的偶然性与内部蕴含着的必然规律性．

2、随机现象的偶然性又称为它的随机性．在一次实验或观察中，结果的不确定性就是随机现象随机性的一面；在相同的条件下进行大量重复实验或观察时呈现出来的规律性是随机现象必然性的一面，称随机现象的必然性为统计规律性．2．随机试验与随机事件为了叙述方便，我们把对随机现象进行的一次观测或一次实验统称为它的一个试验．如果这个试验满足下面的三个条件：(1)在相同的条件下，试验可以重复地进行．(2)试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果．(3)在进行试验前不能确定出现哪一个结果．那么我们就称它是一个随机试验，以后简称为试验．一般用字母E表示．在随机试验中，每一个可能出现的不

3、可分解的最简单的结果称为随机试验的基本事件或样本点，用ω表示；而由全体基本事件构成的集合称为基本事件空间或样本空间，记为Ω．随机事件：是样本空间Ω的一个子集，随机事件简称为事件，用字母A，B，C等表示．因此，某个事件A发生当且仅当这个子集中的一个样本点ω发生，记为ω∈A．3事件之间的关系与运算事件之间的关系有：“包含”、“等价(或相等)”、“互不相容(或互斥)”以及“独立”四种．事件之间的基本运算有：“并”、“交”以及“逆”．事件的包含关系与等价关系：设A，B为两个事件．如果A中的每一个样本点都属于B，那么称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记为AB或BA

4、．如果AB与BA同时成立，那么称事件A与事件B等价或相等，记为A＝B．事件的并与交：设A，B为两个事件．我们把至少属于A或B中一个的所有样本点构成的集合称为事件A与B的并或和，记为A∪B或A＋B．事件的互不相容关系与事件的逆：设A，B为两个事件，如果A·B＝，那么称事件A与B是互不相容的(或互斥的)．对于事件A，我们把不包含在A中的所有样本点构成的集合称为事件A的逆(或A的对立事件)，记为我们规定它是事件的基本运算之一．在一次试验中，事件A与不会同时发生(即A·＝，称它们具有互斥性)，而且A与至少有一个发生(即A＋＝Ω，称它们具有完全性)．这就是说，事件A与满足：

5、根据事件的基本运算定义，这里给出事件之间运算的几个重要规律：(1)(交换律)，(2)(结合律)，．(3)(分配律)(B＋C)＝AB＋AC．A＋BC＝(A＋B)(A＋C)．(4)(德·摩根律)．．，事件为事件A与B的差，记为A－B．可见，事件A－B是由包含于A而不包含于B的所有样本点构成的集合．【例1】设，是任意二事件，完成运算：（1）、；（2）、【例2】从一批产品中任取3个，观察其中的合格数，记={三件产品都是合格品}，={三件产品至多有一件是合格品}，={第件是合格品}，。试用来表示，，，。4．概率的公理化定义：设E是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E中所有的

6、随机事件组成的集合为定义域，定义一个函数P(A)(其中A为任一随机事件)，且P(A)满足以下三条公理，则称函数P(A)为事件A的概率．公理1(非负性)0≤P(A)≤1．公理2(规范性)P(Ω)＝1．公理3(可列可加性)若A1，A2，…，An，…两两互斥，则由上面三条公理可以推导出概率的一些基本性质．性质1(有限可加性)设A1，A2，…，An两两互斥，则性质2(加法公式)设A，B为任意两个随机事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．性质3设A为任意随机事件，则P()＝1－P(A)．性质4设A，B为两个任意的随机事件，若AB，则P(B－A)＝P(B)－P

7、(A)．由于P(B－A)≥0，根据性质4可以推得，当AB时，P(A)≤P(B)．请注意以下常见结论：，，，，，；【例3】，是两随机事件，，，则。【例4】，是两随机事件，，，则。【例5】，是两随机事件，，，则。【例6】，是两随机事件，当，发生时事件发生，则以下正确的是（）A）、B）、C）、D）、【例7】，，是三随机事件，已知，且，，至少有两个发生的概率为，，，同时发生的概率为，则，，都不发生的概率为（）A）、B）、C）、D）、6．概率的统计定义：在一组不变的条件S下，独立地重复做n次试验．设μ是n次试验中事件A发生的次数，当试验次数n很大时，如果A的频率fn(A)稳

8、定地在某一