定积分之几何应用.ppt

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1、第五节定积分在几何上的应用微元法元素法用定积分表示的量U必须具备三个特征:一.能用定积分表示的量所必须具备的特征(3)部分量的近似值可表示为二.微元法则U相应地分成许多部分量;用定积分表示量U的基本步骤:(1)U是与一个变量的变化区间[a,b]有关的量;(2)U对于区间[a,b]具有可加性.分成许多部分区间,即如果把区间[a,b]根据问题的具体情况,选取一个变量例如为积分变量,并确定其变化区间[a,b];(2)在区间[a,b]内任取一个小区间,求出相应于这个小区间的部分量的近似值.在处的值与的乘积,就把称为量U的微元且记作,即如果能近似

2、地表示为[a,b]上的一个连续函数(3)以所求量U的微元为被积表达式,在区间[a,b]上作定积分,得平面图形的面积一直角坐标情形1.曲边梯形当在[a,b]上连续时,由曲线和及轴所围成的曲边梯形面积就是2.一般图形以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为如果函数在[a,b]上连续,且则介于两条曲线则图形的面积为注意:根据具体的图形特点,也可以选择积分变量或者利用图形的对称性简化计算.例1求椭圆的面积(如图).解由对称性,椭圆的面积其中为椭圆在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx则例2求由所围图形面积.解：两抛物线的交点为(0,

3、0)及(1,1).取x为积分变量,其变化区间为[0,1].由前面讨论可知:(1,1)oyx例3求由所围图形面积.解：两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为[-2,4].yx(2,-2)(8,4)图形的面积微元为:从而可得图形面积二.极坐标情形1.曲边扇形其中r()在[,]上连续,且r()0.相应于[,+d]的面积微元为则图形面积为or=r()设图形由曲线r=r()及射线=,=所围成.取为积分变量,其变化区间为[,],2.一般图形及射线=,=所

4、围图形的面积微元为则面积为o由曲线NoM例4求r=1与r=1+cos所围公共面积.解如图,曲线交点为由对称性则而立体的体积一.平行截面面积已知的立体体积点且垂直于轴的截面面积.如图,体积微元为,则体积为取为积分变量,其变化范围为[a,b].设立体介于之间,表示过xA(x)dV=A(x)dxx.aVbaaxzy0aaxzy0.过点M(x,0,0)作垂直于x轴的截面，则截面为正方形，边长为称为旋转体.则如前所述,可求得截面面积二.旋转体的体积则平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体设旋转体由图1的曲边梯形绕x轴形成.yabo图1同理

5、,如旋转体由图2的曲边梯形绕y轴形成.ycoxdx=(y)例6求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积.解可求得过点O及P(h,r)的直线方程为由公式得yoxP(h,r)则体积为图2图3柱壳法-------由平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为柱壳法——就是把旋转体看成是以y轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的，以此柱壳的体积作为体积元素。在区间上柱壳体的体积元素为即为圆柱薄壳当很小时，此小柱体的高看作，yx0x=g(y)cdx=g(y)绕y轴旋转ydA=2g(y)ds.(ds是曲线的弧微分)..故旋转体侧面积求旋转体侧面积Ads

6、平面曲线的弧长光滑曲线可应用定积分求弧长.若函数的导函数在区间[a,b]上连续,则称曲线为区间[a,b]上的光滑曲线,一.直角坐标情形设光滑曲线方程:可用相应的切线段近似代替.即则弧长微元(弧微分)故弧长为oyxdyabdx取为积分变量,变化区间为[a,b].[a,b]内任意小区间的一段弧长二.参数方程情形设光滑曲线方程:弧长微元则如前所述,例9求星形线的弧长.解由对称性及公式例10求阿基米德螺线r=a(a>0)上相应于从0到2的一段弧长.解三.极坐标情形设曲线方程:r=r()().化为参数方程:则