常系数齐次线性微分方程课件.ppt

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1、常系数第七节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第七章二阶线性微分方程：函数系数求解较难二阶常系数线性微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程：非齐次二阶常系数齐次线性微分方程的通解？只需求出方程的两个线性无关的解y1(x)和y2(x)，则方程的通解：由于方程(2)中，各项的系数均为常数而指数函数y=erx的导数y’=rerx与y仅相差一个常数因子，因此我们可以合理地假设方程(2)的解形如：y=erx设二阶常系数齐次线性微分方程的解为：其中r是待定常数求导：代入方程：约

2、去erx，得方程(2)的特征方程设解y=erx解特征方程，得特征根：不等实根：r1,r2二重根：一对共轭复根：设解y=erx不等实根：r1,r2得两个解：它们线性无关，方程的通解：构成方程的基础解系设解y=erx得两个解：它们线性相关，二重根：不构成基础解系。还得求一个与这个解线性无关的另一个解。为了得求与线性无关的另一个解y2:求导：代入方程（2），得令特征方程有一对二重根：积分：取得方程的另一个解：线性无关通解：设解y=erx得两个解：它们线性无关，但为复数解，需要改造成实数解。一对共轭复根：Euler公式

3、：334页Euler公式：334页它们是原方程的两个线性无关的实解原方程的通解：特征根通解表1求二阶常系数齐次线性方程的通解的步骤(1)写出齐次线性方程的特征方程：(2)求出特征方程的特征根：r1,r2(3)根据特征根的情况，按表1写出方程的通解例1求通解：解特征方程：因式分解：特征根：它们是不等实根方程的通解：例2求特解：解特征方程：因式分解：特征根：它们是二重根方程的通解：初始位置初始速度求导：得特解运动方程例3求通解：解特征方程：配方：特征根：它们是一对共轭复根方程的通解：例4设是二阶常系数齐次微分方程的

4、两个解，则该微分方程为.解由于线性无关，则该微分方程有通解因此该微分方程有二重特征根：所以该微分方程的特征方程为：从而微分方程为回忆以上的方法一个单实根r一个解一个二重根r两个解一对共轭复根两个解以上结论推广到高阶常系数齐次线性方程特征方程：特征根：n个，重根按重数计一个单实根r一个解一个k重根rk个解一对共轭单复根两个解一对共轭k重复根2k个解，例5求通解：解：特征方程为因式分解：特征根：方程的基础解系通解；例6为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即

5、故所求方程为其通解为内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为作业P3401(偶数);2(奇数);第八节解特征方程为解得故所求通解为练习1解特征方程为解得故所求通解为练习2