平面向量数量积坐标表示.ppt

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1、江山如此多娇高一数学平面向量数量积的坐标表示王金辉老河口市江山中学1.已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ，则a·b＝abcos.a·b称为向量a与b的数量积（或内积）.θ2.数量积a·b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos的乘积.θ6.a·b≤ab.3.a⊥ba·b＝0.4.a·a＝a2＝a2.a·bab5.cos＝.θ复习题1已知：a＝4，b＝5，a·b＝10，求：a与b的夹角θ.θ＝60°.解：设a与b的夹角为θ，则cos＝＝,a·bab12θ复习题2已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求证：ABC是直角三角形.分析：先画图，ABCOxy从图中可知，∠A应为

2、90°，为证明∠A＝90°，只需证明AB·AC＝0.复习题2已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求证：ABC是直角三角形.ABCOxy由AB·AC＝ABACcosA可知，为了证明AB·AC=0,需先得出cosA=0，需先证明∠A为90°，而这正是最终要证明的结论.5.7平面向量数量积的坐标表示在坐标平面xoy内，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.a·b＝x1x2＋y1y2证明：设x轴、y轴方向的单位向量分别是i、j，则a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i·i＋x1y2

3、i·j＋y1x2j·i＋y1y2j·j＝x1x2＋y1y2.已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求证：ABC是直角三角形.∴AB⊥AC.证明：AB＝(3–2，2–1)＝(1，1),AC＝(–1–2，4–1)＝(–3，3),∵AB·AC＝1×(–3)＋1×3＝0,∴ABC是直角三角形.由向量数量积的坐标表示,可得(1)若A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则

4、AB

5、＝√(x1－x2)2＋(y1－y2)2(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0(a∥b(b≠0)x1y2－x2y1＝0)A(x1，y1)OxyB(x2，y2)(

6、

7、AB

8、2＝AB·AB=(x1－x2)2＋(y1－y2)2)例1已知a＝(1，√3)，b＝(–2，2√3),（1）求a·b；（2）求a与b的夹角θ.解：（1）a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4;b＝√(–2)2＋(2√3)2＝4,（2）a＝√12＋(√3)2＝2,cos＝＝＝,42×4a·bab12θ∴＝60º.θ例2：已知a＝(5,0)，b＝(–3.2,2.4),求证：(a＋b)⊥b.证明：∵(a＋b)·b＝a·b＋b2＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42＝0，∴(a＋b)⊥b.例3：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、(4，2)、(0，4)，直线l过A、B两

9、点，求点C到l的距离.HOABCxyl分析一：如图，为求CH长，由CH＝AH－AC可知，关键在于求出AH.由AC·AB的几何意义，AC·AB等于AB的长度与AC在AB方向上的投影的乘积.所以AC·AB＝AH·AB.AC＝(0–2，4–0)＝(–2，4)，AB＝(4–2，2–0)＝(2，2),AC·AB＝–2×2＋4×2＝4.解：HOABCxyl∵AH与AB共线，∴可设AH＝mAB＝(2m，2m).AH·AB＝4m＋4m＝8m.由AC·AB=AH·AB，得m＝.12CH=AH－AC＝(3，–3)，CH＝√32＋(–3)2＝3√2.即C点到直线l的距离为3√2.∴AH＝(2m，2m)=(1，1

10、).为定H点坐标(两个未知数)，可利用H点在l上，及CH⊥AB这两个条件.分析二：HOABCxyl若能确定H点坐标，CH长就易求了.练习：1.向量a、b夹角为θ,（1）a＝(3，－2)，b＝(1，1)，则a·b＝_________，cosθ＝______.1（2）a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，则a·b＝_______，θ＝__________－10180º2.已知ABC三个顶点坐标A(，)，B(－2，3)，C(0，1)，求证：ABC是直角三角形.1343

11、a

12、＝√13,

13、b

14、＝√2√2626小结：（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；（

15、2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.课外作业:P132T1;T2.再见