高考数学冲刺专题复习之――导数(教师版).doc

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1、高考数学（文）冲刺专题复习之——导数一、知识点梳理（一）变化率与导数、导数的运算1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为.若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作或，即.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处切线的斜率．相应地，切线方程为．3．函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等

2、函数的导数公式若f(x)＝c，则f′(x)＝0；若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝αxα－1；若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a；若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝.5．导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝　(g(x)≠0)．6．复合函数的求导法则

3、复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.（二）导数的应用——研究函数的单调性1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．3．函数的单调性（1）在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0

4、⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．注意：（1）与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。（2）时，与为增函数的关系。若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。所以，当时，是为增函数的充分必要条件。（3）与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。（2）用导数求函数单调区间的三个步骤：①确定函数的定义域；②求函数的导数；③令解不等式，得的范围，再与定义域求交集，就是递增区间.令解不等式，得的范围

5、，再与定义域求交集，就是递减区间.（三）导数的应用——求函数的极值和最值1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①先确定函数定义域，再求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个

6、根不是极值点．注意：f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。但是，当x=x0时，函数有极值f/(x0)＝0判断极值，还需结合函数的单调性说明。2．函数的最值：(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；①将f(x)的各极值与

7、f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）导数的应用——证明不等式1、函数类不等式证明：函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式（）的问题转化为证明（），进而构造辅助函数，然后利用导数证明函数的单调性或证明函数的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。2常数类不等式证明：常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等式的问题，在根据的不等式关系和函数的单调