中点弦问题（点差法）.doc

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1、圆锥曲线常规题型方法归纳与总结①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题------点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，

2、将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如：（1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有。（2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.经典例题讲解一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为、为的中点　　又

3、、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线　，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得　故直线由　消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此

4、题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。二.求弦的中点坐标、弦中点轨迹例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即点的坐标为。例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为三.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一

5、焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则，，又，两式相减得即┅┅②联立①②解得，所求椭圆的方程是四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，，　　这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立，得　则必须满足，即，解得五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。习题实战1

6、.直线与椭圆相交于A、B两点，则AB中点坐标2.已知，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条准线的方程是x=b，倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，且线段AB的中点为，求椭圆C的方程.3.已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于A、B两点，且M是线段AB的中点，若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由？4.已知又曲线线C的渐近线方程，其一个焦点为.（1）求双曲线的方程；（2）是否经过的直线，使得直线与双曲线线C交于A、B两点，且以AB为直径的圆经过？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.