空间向量及其坐标运算练习题.doc

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1、空间向量及其坐标运算一．选择题1.若a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，则A.x=1，y=1B.x=，y=－C.x=，y=－D.x=－，y=2.在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）A.0B.1C.2D.33.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），

2、且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是A.1B.C.D.4.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为A.（，，）B.（，，）C.（，，）D.（，，）5.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为的余弦值A.B.C.D.二．填空题6.已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与的夹角θ的大小是_________.7.已知点A（1，2，1）、B（－1，3，

3、4）、D（1，1，1），若=2，则

4、

5、的值是__________.8.命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；③若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b=λa；④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，=++，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部.上述命题中的真命题是_____________.典例剖析9．已知=（2，2，1），=（4，5，3），则平面ABC的单位法向量_________.三．解答题10.在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=9

6、0°，AC=2，BC=，SB=.（1）求证：SC⊥BC；（2）求SC与AB所成角的余弦值.11.如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求的长；（2）求cos〈，〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M.12.设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，求a的值.13.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且

7、PQ

8、=，建立如

9、下图所示的坐标系.确定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；14.已知三角形的顶点是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2）.试求这个三角形的面积.15.证明正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为∶1.16.如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD.（1）求cos〈，〉的值；（2）若E为AB的中点，F为PD的中点，求

10、

11、的值；（3）求二面角P—BC—D的大小.17.已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：（1

12、）线段AB的中点坐标和长度；（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件.18.棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？19．已知三棱柱ABC—A1B1C1中底面边长和侧棱长均为a，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1B=a.（1）求异面直线AC与BC1所成角的余弦值；（2）求证：A1B⊥面AB1C.参考答案：一．选择题1.C2.B3.D4.A5.D二．填空题6．120°7。.8。④9。一．解答题10．解：如下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空

13、间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），=（2，，－2），=（－2，，0）.（1）∵·=0，∴SC⊥BC.（2）设SC与AB所成的角为α，∵=（0，，0），·=4，

14、

15、

16、

17、=4，∴cosα=，即为所求.11．（1）解：依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），∴｜｜==.（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），∴=（1，－1，2），=（0，1，2），·=3，｜｜=，｜｜=.∴cos〈，〉==.（3）证明：C1（0，0，

18、2），M（，，2），=（－1，1，－2），=（，，0），∴·=0，∴A1B⊥C1M.12．解：=（－1，－3，2），=（6，－1，4）.根据共面向量定理，设=x+y（x、y∈R），则（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2x+4y），∴解得x=－7，y=4，a=