高考数学专题复习（精选精讲）练习3-数列求和习题精选精讲.pdf

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1、数列求和一、利用常用求和公式求和na1(q1)n(a1an)n(n1)n1、等差数列求和公式：Snna1d2、等比数列求和公式：Sna1(1q)a1anq22(q1)1q1q123n[例1]已知logx，求xxxx的前n项和.3log3211解：由logxlogxlog2x333log32211n(1)23nx(1x)22n1由等比数列求和公式得：Sxxxx=＝＝1－nn1x1212S*n[例2]设

2、Sn＝1+2+3+…+n，n∈N,求f(n)的最大值.(n32)Sn111解：由等差数列求和公式得Sn(n1)，S(n1)(n2)nn22Sn11181n∴f(n)＝＝＝∴当n，即n＝8时，f(n)264max(n32)Sn1n34n64n34(n8)25050850nn二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.23n1[例3]求和：

3、S13x5x7x(2n1)x………………………①nn1n1解：由题可知，{(2n1)x}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x}的通项之积：设234nxS1x3x5x7x(2n1)x…②（设制错位）n234n1n①－②得(1x)S12x2x2x2x2x(2n1)x（错位相减）再利用等比数列的求和公式nn1n1n1xn(2n1)x(2n1)x(1x)得：(1x)S12x(2n1)x。∴S

4、nn21x(1x)2462n2n1[例4]求数列,,,,,前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积23nnn2222222462n设S…………………………………①n23n222212462n1222222nS…………②①－②得(1)Sn234n1n234nn122222222222212nn22∴S4n1n1nn1222三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和

5、公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(aa).1n22222[例6]求sin1sin2sin3sin88sin89的值22222解：设Ssin1sin2sin3sin88sin89………….①22222将①式右边反序得：Ssin89sin88sin3sin2sin1……②又因为22222sinxcos9(0x),sinxcosx1，①+②得：2S(s

6、in1cos1)(sin＝89∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.111[例7]求数列的前n项和：11,4,7,,3n2，…2n1aaa111解：设S(11)(4)(7)(3n2)n2n1aaa111将其每一项拆开再重新组合得S(1)(1473n2)（分组）n2n1aaa111n(3n1

7、)n(3n1)nan(3n1)naa(3n1)n当a＝1时，Sn＝（分组求和）当a1时，S＝nn2212a121a[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.nn3232解：设akk(k1)(2k1)2k3kk∴Snk(k1)(2k1)＝(2k3kk)k1k1nnn32333222将其每一项拆开再重新组合得：Sn＝2k3kk＝2(12n)3(12n)(12n)k1k1k1222n

8、(n1)n(n1)(2n1)n(n1)n(n1)(n2)=＝2222五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终sin1达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）af(n1)f(n)（2）tan(n1)tannncosncos(n1)2111(2n)111（3）a（4）a1()nnn(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n