一次函数图象的平移变换问题探究.doc

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1、一次函数图象的平移变换问题的探究所谓平移变换就是在平面内，将一个图形整体沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称为平移.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P（x，y）平移规律如下：（1）将点P（x，y）向左平移a个单位，得到P1（x－a，y）（2）将点P（x，y）向右平移a个单位，得到P2（x+a，y）（3）将点P（x，y）向下平移a个单位，得到P3（x，y－a）（4）将点P（x，y）向上平移a个单位，得到P4（x，y+a）反之也成立.下面我们来探索直线的平移问题.【引例1】探究一次函数：y=x与：y=x+2，：y=x－2的关系.图1-1

2、1-11【探究】我们可以通过列表、描点、连线在同一平面直角坐标系中画出3个函数的图象（如图1），观察这3个函数的图象：从位置上看，它们是3条平行的直线.（这是因为它们的k值相同）；从数量上看，对于同一自变量的取值（不妨取x=0即直线与y轴的交点），可以看出直线在直线的上方2个单位处，直线在直线的下方2个单位处，因此，一次函数：y=x+2的图象可以看作是由正比例函数：y=x的图象沿y轴向上平移2个单位得到的；一次函数：y=x－2的图象可以看作是由正比例函数：y=x的图象沿y轴向下平移2个单位得到的.【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0

3、）或向下（b<0）平移个单位长度得到的一条直线.【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．O1234Axy图212分析：观察图像发现直线OA是正比例函数的图象，可设直线OA的解析式为y=kx，又点A（2，4）在函数图像上，所以4=2k即k=2，又一次函数的图像是由直线向上平移1个单位得到，故这个一次函数的解析式为y=2x+1.【引例2】探究一次函数：y=x与：y=（x+3），：y=（x－3）的关系.【探究】观察引例1与引例2中的3个函数的解析式，经过变形我们可以发现他们是完全相同的，因而，画出3个函数的图象仍然是

4、图1的情况.从位置上看，它们是3条平行的直线.（这是因为它们的k值相同）；从数量上看，对于同一因变量的取值（不妨取y=0，即直线与x轴的交点），可以看出直线在直线的左方3个单位处，直线在直线的右方3个单位处，因此，一次函数：y=（x+3）的图象可以看作是由正比例函数：y=x的图象沿x轴向左平移3个单位得到的；一次函数：y=（x－3）的图象可以看作是由正比例函数：y=x的图象沿x轴向右平移3个单位得到的.【拓广】：一般地由正比例函数y=kx的图象沿x轴向左平移m（m>0）个单位，得到的一次函数解析式为y=k（x+m）=kx+km；沿x轴向右平移m（m>0）个单位，得到的一次函数解析式为y

5、=k（x－m）=kx－km；综合上述归纳推广可以发现，直线上下平移时，影响的y值的变化，直线左右平移时影响x值的变化.OCBAA【应用】：（08年武汉市）⑴点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是，直线向下平移2个单位后的解析式是；⑵直线向右平移2个单位后的解析式是；⑶如图，已知点C为直线上在第一象限内一点，直线交轴于点A，交轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移个单位，求平移后的直线的解析式．分析：⑴点（0，1）向下平移2个单位，横坐标不变，纵坐标减去2，故为（0，－1）.根据上面拓广的规律直线向下平移2个单位后的解析式应为－2，即；⑵直线向右平移2个单位后的解析式应为y=2(x-2)+

6、1即；⑶解法1：点C为直线上在第一象限内一点，OC=可知点C（3，3），将直线AB沿射线OC方向平移个单位，相当于向右平移3个单位，再向上平移3个单位，根据拓广规律，解析式变为y=2(x-3)+1+3即；解法2：点C为直线上在第一象限内一点，OC=可知点C（3，3），将直线AB沿射线OC方向平移个单位，相当于向右平移3个单位，再向上平移3个单位，从而点A（0，1）平移到（3，4），设平移后的直线的解析式为y=2x+b，则有4=6+b所以b=-2，所以所求直线的解析式为y=2x-2.赏析一道函数图象探究题函数是初中数学的重点内容之一,其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的丰富的有价值

7、的信息.为考查同学们获取和应用图象信息的能力,函数图象探究题便成了近年来各地中考的新亮点,解答这类题的关键是从图象中获取信息,,正确地进行“形”和“数”的转换.现就08年中考有关一次函数图象探究题精选一例,浅析如下,供同学们鉴赏：例(2008江苏南京)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为km；