论行列式的计算方法.doc

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1、论行列式的计算方法黄正敏（莆田学院数学系2002级，福建莆田）摘要：归纳行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计算行列式的

2、两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。方法1　　化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例1：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学

3、2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解：[问题推广]例1中，显然是1,2，…，n-1,n这n个数在循环，那么如果是a0,a1,…,an-2,an-1这n个无规律的数在循环

4、，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。[2]从而推广到一般，求下列行列式：解：令首先注意，若u为n次单位根（即un=1），则有：为范德蒙行列式又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反所以例1与相对应与例1的答案一致。方法2　按行（列）展开法（降阶法）设为阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有或　其中为中的元素的代数余子式按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减

5、少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。例2，计算20阶行列式[9][分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。　　注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：解：以上就是计算行列式最基本

6、的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都要与行列式的性质和基本方法结合起来。下面是一常用的方法：方法3　递推法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。例3，2003年福州大学研究生入学考试试题第二大

7、题第10小题要证如下行列式等式：（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：这是由Dn-1和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑

8、将其变形为：或　现可反复用低阶代替高阶，有：同样有：因此当时由（1）（2）式可解得：证毕。［点评］虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然