函数的周期性及其应用解题方法.doc

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1、函数的周期性及其应用解题方法方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；(2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；(3)若满足f(x＋a)＝1/f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝1/f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；(4)若函数满足f(x＋a)＝－1/f(x)，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则

2、①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．没有等价变形而致误【典例】 函数f(x)的定义域D＝{x

3、x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f

4、(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(3x＋1)(2x－6)≤64.∴－7/3≤x≤5.分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1

5、＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4

6、)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(

7、x

8、)．∴不等式(*)等价于f[

9、(3x＋1)(2x－6)

10、]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴

11、(3x＋1)(2x－6)

12、≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.解得－7/3≤x＜－1/3或－1/3＜x＜3或3＜x≤5.∴x的取值范围是答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：　　(1)要有明确的语言表示．如“M”等价于

13、“N”、“M”变形为“N”．　　(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f(x)为偶函数，∴不等式(*)等价于f[

14、(3x＋1)(2x－6)

15、]≤f(64)．　　(3)转化的结果要等价．如本例：由于f[

16、(3x＋1)(2x－6)

17、]≤f(64)  

18、(3x＋1)(2x－6)

19、≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，则这个转化就不等价了．