概统7.1节数字特征和极限定理.ppt

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1、第7章第七章随机变量的数字特征1分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道r.v.的某些特征.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;又要看纤维长度与平均长度的偏离程度例如：2考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.3r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——方差描述两r.v.间的某种关系的数—

2、—协方差与相关系数本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写4§7.1随机变量的数学期望加权平均初赛复赛决赛总成绩算术平均甲乙9085532287688805722575胜者甲甲乙甲甲3:3:42:3:52:2:673.770.066.873.270.167.8甲乙乙引例学生甲乙参加数学竞赛,观察其胜负§7.15为这3个数字的加权平均称数学期望的概念源于此6设X为离散r.v.其分布为若无穷级数其和为X的数学期望记作E(X),即数学期望的定义定义绝对收敛,则称7设连续r.v.X的d.f.为若广义积分绝对收敛,则称此积分为X的数学期望记作E(X),即数学期望的本质——加权平均它是一个数不再

3、是r.v.定义8例1X~B(n,p),求E(X).解特例若Y~B(1,p),则E(Y)例19例2X~N(,2),求E(X).解例3设X~参数为p的几何分布，求E(X).解例210常见r.v.的数学期望（P159）分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP()11分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)12注意不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在!13设离散r.v.X的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则设连续r.v.的d.f.为f(x)绝对收敛,则若广义积分r.v.函数Y=g(X)的数学期望1

4、4设离散r.v.(X,Y)的概率分布为Z=g(X,Y),绝对收敛,则若级数15设连续r.v.(X,Y)的联合d.f.为f(x,y)，Z=g(X,Y),绝对收敛,则若广义积分16例3设(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的数学期望.解例317解(1)设整机寿命为N,五个独立元件,寿命分别为都服从参数为的指数分布，若将它们(1)串联；(2)并联成整机，求整机寿命的均值.（P.142例6）例4例418即N~E(5),(2)设整机寿命为19可见,并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.20例5设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，求E(max(X,Y)).解

5、D1D2例521其中称为概率积分22一般地，若X,Y相互独立，则所以23E(C)=CE(aX)=aE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).若存在数a使P(Xa)=1,则E(X)a；若存在数b使P(Xb)=1,则E(X)b.数学期望的性质常数期望性质24性质4的逆命题不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立反例见附录1注25设X连续，d.f.为f(x),分布函数为F(x),则故证性质526例6将4个不同色的球随机放入4个盒子中,每盒容纳球数无限,求空盒子数的数学期望.解一设X为空盒子数,则X的概率分布为XP0123例627解

6、二再引入Xi,i=1,2,3,4XiP1028例7设二维r.v.(X,Y)的d.f.为求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解例729由数学期望性质X,Y独立30数学期望的应用应用31据统计65岁的人在10年内正常死亡解应用1的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿a元,应如何定a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi表示公司从第i个投保者身上所得的收益,i=1~1000.则Xi~0.980.02100100应用132由题设公司每笔赔偿小于5000元,

7、能使公司获益.公司期望总收益为若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.33为普查某种疾病,n个人需验血.验血方案有如下两种：分别化验每个人的血,共需化验n次；分组化验,k个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k个人的血逐个化验,找出有病者,此时k个人的血需化验k+1次.设每人血液化验呈阳性的概率为p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济