线性代数矩阵1用课件.ppt

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1、1.矩阵的定义简记为§2.1矩阵概念实矩阵:元素是实数复矩阵：元素是复数例如：由m×n个数排成m行n列的数表，称为m行n列矩阵。1是一个矩阵,是一个矩阵.是一个矩阵,矩阵概念（2）2零矩阵(ZeroMatrix):注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.例如：元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.特殊矩阵（1）所有元素全为非负数的矩阵称为非负矩阵3行矩阵列矩阵方阵只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).例如：是一个3阶方阵.特殊矩阵（2）行数与列数都等于的矩阵,称为阶方阵.也可记作4对角阵方阵，

2、主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。数量矩阵方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。特殊矩阵（3）5单位矩阵记作:行列式与矩阵的区别:1.一个是算式，一个是数表2.一个行列数相同,一个行列数可不同.3.对n阶方阵可求它的行列式.记为:方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。特殊矩阵（4）6矩阵应用举例例：某厂向三个商店发送四种产品的数量可用如下矩阵表示：该四种产品的单价及单件重量可用如下矩阵表示：矩阵相乘的应用71.矩阵相等.矩阵相等:例：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等§2.2矩阵的运算8设有两个矩阵那末矩

3、阵与的和记作，规定为加法:2.矩阵的加减法(1)例如：注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.9减法:负矩阵：矩阵加法满足的运算规律:矩阵的加减法(2)10数乘:注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.3.数与矩阵相乘数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）11例已知:求3A-2B12例已知:且,求13定义：并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中4.矩阵与矩阵相乘例：14故解:矩阵与矩阵相乘(2)例：求AB15注意:只有当第一个矩阵

4、（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.例如:不存在.矩阵与矩阵相乘计算举例(1)16例:计算下列矩阵的乘积.解:矩阵与矩阵相乘计算举例(2)17=(）()矩阵与矩阵相乘计算举例(3)18例：计算下列矩阵的乘积.矩阵与矩阵相乘计算举例(4)19矩阵与矩阵相乘计算举例(5)20矩阵与矩阵相乘计算举例(6)21矩阵乘法满足的运算规律：（其中为数）;矩阵乘法不满足交换律例:设则注意：矩阵与矩阵相乘运算规律22但也有例外，比如设则有矩阵与矩阵相乘运算规律(2)如果两矩阵相乘,有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可

5、交换，简称：A与B可换。23例:设,求所有与A可交换的矩阵设与A可交换,则，AB=BA由AB=BA得即：所有与A可交换的矩阵24矩阵乘法不满足消去律例如：有但是矩阵与矩阵相乘运算规律(2)例如：它们都不是零矩阵但:25线性方程组的矩阵表示若记：则，线性方程组可表示为称为矩阵方程线性方程组其中A称为系数矩阵26例：解矩阵方程设则得到即：27定义:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例:转置矩阵满足的运算规律：5.矩阵的转置28例：已知解法1：求转置矩阵例题29解法2：求转置矩阵例题(2)30并且6.方阵的幂

6、：设矩阵为n阶方阵，则：31例:设求32定义：由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算规律：注：虽然但7.方阵的行列式33对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明：例6:对称阵:设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.34逆矩阵的概念设有线性方程组线性方程组可表示为如下的矩阵方程35逆矩阵的概念由于有所以我们希望能找到某集合使得有即:对于矩阵方程组因此如果存在而且能求出矩阵,便可求得线性方程组的解矩阵即为本节要讨论的逆矩阵。36逆矩阵的定义、唯一性则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.概念的引入:在数的运算中，当数时

7、，有其中为的倒数，那么，对于矩阵，使得§2.3逆矩阵在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中的1，（或称的逆）；如果存在一个矩阵,37定义：例:设,EBAAB==Q则称矩阵A是可逆的，方阵B称为A的逆矩阵，记作设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E逆矩阵的定义唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.38定义：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵的伴随矩阵.伴随矩阵性质：39定理2:2.矩阵可逆的判别定理及求法奇异矩阵：非奇异矩阵：推论：注：定理1:若矩阵可逆，则403.可逆矩阵的运算性质结论

8、：当时，称为奇异方阵，否则称为非奇异方阵。而为可逆矩阵的充要条件是，即可逆矩阵就是非奇异方阵。413.可逆矩阵的运算性质(2)(5)若可逆，则有42则例:设解：设是的逆矩阵,逆矩阵的求法一：待定系数法得到可验证所以矩阵即为的逆阵43(1)(2)逆矩阵的求法二：伴