西北工业大学矩阵论复习课件.ppt

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1、矩阵论复习一.线性空间1.线性空间的概念2.线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐标变换）3.线性子空间的概念与运算(1)定义(2)运算（交与和，直和）1.判断1，sinx,cosx的线性相关性.2.若1,2,…,r线性无关，则向量组1=1+k1r,2=2+k2r,,r=r(kiK)也线性无关.3.求向量组分别生成的子空间的交的基和维数.4.设V1,V2分别是证明Kn=V1V25.设S,A,T分别为Knn中对称，反对称，上三角方阵构成的子空间，证明：Knn=SA,Knn=TA.二.线性变

2、换1.定义T:VV且T(k+l)=kT()+lT()2.线性变换的值域与核R(T)=L(T(1),T(2),T(n)),N(T)={T()=,V}3.线性变换的矩阵T(1,2,,n)=(1,2,,n)ArankT=rankA,nullT=n-rankA（1,2,,n为线性空间V的一个基）4.线性变换的运算加法，数乘，乘法，逆，多项式.5.化简线性变换的矩阵(1)线性变换的特征值与特征向量(2)在不同基下的矩阵相似(3)C上的线性空间V上的T，一定存在V的一个基使得T在该基下的矩

3、阵是Jordan矩阵(4)C上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T在该基下的矩阵为对角阵T有n个线性无关的特征向量。(5)Hamilton定理与矩阵的最小多项式6.不变子空间定义:W是V的子空间，T是V的线性变换，如果对W,有T()W,则W是T的不变子空间.1.求K22上的线性变换T：T(X)=AX的值域R(T)与核N(T)的基与维数,其中设T,S是V的线性变换，T2=T,S2=S,ST=TS,证明(S+T)2=S+TST=O.3.设T,S是V上线性变换，且T2=T,S2=S，证明(1)R(T)=R(S)T

4、S=S,ST=T(2)N(T)=N(S)TS=T,ST=S设P[x]2的线性变换TT(a+bx+cx2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x2求P[x]2的一个基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.5.设V是C上的n维线性空间，T是V上的线性变换，其中1,2,,n是V的一个基.证明：V的包含n的T的不变子空间只有V.6.设线性空间V3的线性变换T在基1,2,3下的矩阵证明：W=L(2-1,3-1)是T的不变子空间.7.求下列矩阵的Jordan标准形8.求下列矩阵的最小多项式9.设A是一

5、个6阶方阵，其特征多项式为()=(+2)2(-1)4,最小多项式为mA()=(+2)(-1)3,求出A的若当标准形.10.对于n阶方阵A，如果使Am=O成立的最小正整数为m，则称A是m次幂零矩阵，证明所有n阶n-1次幂零矩阵彼此相似，并求其若当标准形.欧式空间与酉空间1.定义,度量矩阵((,)=xTAy,A是某基的度量矩阵,x和y分别是和在该基下的坐标)2.正交基与规范正交基(sthmidt正交化)3.正交补4.对称变换与正交变换(T,)=(,T)T在规范正交基下的矩阵为实对称矩阵.(T,T)=

6、(,)T在规范正交基下的矩阵为正交矩阵.5.n阶方阵酉相似于上三角矩阵n阶方阵A酉相似对角矩阵A是正规矩阵.练习题1.在欧式空间R22中的内积为取（1）求W的一个基；（2）利用W与W的基求R22的一个标准正交基.2.已知欧式空间Vn的基1,2,,n的度量矩阵为A,证明在Vn中存在基1,2,,n，使满足设1,2;1,2是欧式空间V2两个基,又1=1-22,2=1-2,(1,1)=1,(1,2)=-1,(2,1)=2,(2,2)=0分别求基1,2与1,2的度量

7、矩阵.4.设实线性空间Vn的基1,2,,n，设，Vn在该基下的坐标分别为(1,,n)T,(1,,n)T;定义(,)=11++nn证明：（1）(,)是Vn的内积；（2）在该内积下，基1,2,,n是Vn的标准正交基.设ARmn，证明在列向量空间Rm中，R(A)=N(AT)设T是n维Eulid空间V的线性变换，T(1,2,,n)=(1,2,,n)A证明：T为对称变换ATG=GA，其中G为1,2,,n的度量矩阵.7.设n维Eulid空间Vn的基1,2,

8、,n的度量矩阵为G,正交变换T在该基下的矩阵为A，证明:(1)T1,T2,,Tn是Vn的基；（2）ATGA=G.8.设1,2,,n是n维欧式空间V的标准正交基，T是V中的正交变换，由1,2,,r(r