计算固体力学4_Lagrangian网格课件.ppt

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1、非线性有限元第4章Lagrangian网格计算固体力学第4章Lagrangian网格引言UL控制方程，弱形式UL有限元离散编制程序旋转公式TL格式，弱形式，有限元半离散化1引言在Lagrangian网格中，节点和单元随着材料移动，边界和接触面与单元边缘保持一致，处理较为简单。积分点也随着材料移动，本构方程总是在相同材料点处赋值，这对于历史相关材料是有利的。基于这些原因，在固体力学中广泛地应用Lagrangian网格。UL格式，Eulerian（空间）坐标和Cauchy应力；TL格式，名义应力，PK2应力，Green应变张量。2UL

2、控制方程弱形式考虑一个物体，占有域Ω，边界为Г。连续体力学行为的控制方程是：1质量（或物质）守恒，标量方程；2线动量和角动量守恒，张量方程，包含n个偏微分方程（n－维数）；3能量守恒，通常称作热力学第一定律，标量方程；4本构方程，应力－应变或应变率的关系，对称张量；5应变－位移方程。2UL控制方程弱形式边界条件：在二维问题中，面力或速度的每个分量都必须预先指定在整个边界上；但是，面力和速度的同一个分量不能指定在边界上同一点处。其分量可以指定在不同于总体坐标系的局部坐标系上。速度边界条件等价于位移边界条件：如果给定了位移，可以通过时

3、间微分得到速度；给定了速度，可以通过时间积分得到位移。2UL控制方程弱形式初始条件：可以是速度和应力，或者是位移和速度。第一组初始条件更适合于大多数工程问题，因为确定一个物体的初始位移通常是很困难的。初始应力通常为已知的残余应力，有时候可以测量或者通过平衡解答估算。例如，当一个钢件经过铸锭成型后确定其位移几乎是不可能的。对于在工程部件中的残余应力场，经常能够给出较准确的估计。类似地，在埋置管道中，靠近管道周围的土壤或岩石的初始位移的概念是毫无意义的，而初始应力场可以通过平衡分析估计出来。因此，以应力形式的初始条件更加实用。虚功率原

4、理是动量方程，面力边界条件和内部力连续性条件的弱形式。微分方程的积分形式一般称为弱形式。强形式或广义动量平衡，包括动量方程，力边界条件和力连续性条件。微分方程一般称为强形式。2UL控制方程弱形式3UL有限元离散有限元近似在有限元方法中，运动近似地表示为当前构形中的节点坐标小写的下标表示分量，如三维大写的下标表示节点值默认对重复的指标求和；在小写指标的情况下，对空间的维数进行求和，而在大写指标的情况下，对节点的编号进行求和。在求和中的节点数目取决于所考虑的域：当考虑整个域时，对整个域中的所有节点求和；当考虑一个单元时，对这个单元的所

5、有节点求和。3UL有限元离散有限元近似当一个节点具有初始位置有节点J总是对应于相同的材料点XJ，在L网格中，节点总是和材料点保持一致定义节点位移：位移场：取位移的材料时间导数得到速度：速度是位移的材料时间导数，即当材料坐标固定，对时间求偏导数。由于形状函数不随时间改变，因此速度是由相同形状函数给出的。节点位移上面的点表示普通导数，因为它仅是时间的函数。3UL有限元离散有限元近似加速度是速度的材料时间导数速度梯度为变形率给出为变分函数或变量不是时间的函数，因此将变分函数近似为虚拟节点速度3UL有限元离散有限元近似作为构造离散有限元方

6、程的第一步，将变分函数代入虚功率原理中，得到利用除以外的节点上虚节点速度的任意性，则动量方程的弱形式为在任何指定速度的地方，虚速度必须为零。离散运动（动量）方程为3UL有限元离散离散运动（动量）方程内部节点力外部节点力惯性节点力内部节点力代表着物体的应力。这些表达式既可以应用于整体网格，也可以应用于任意单元或单元集。这些表达式包含形状函数对应于空间坐标的导数和在当前构形上的积分。在非线性有限元方法中，对于更新的Lagrangian网格，这是一个关键的方程；它也应用于Eulerian和ALE网格。离散方程3UL有限元离散是关于节点速

7、度的个常微分方程系统。半离散运动（动量）方程是不受约束的节点速度分量的数目,称作自由度的数目。为了完成这个方程系统，要附加上单元积分点处的本构方程和以节点速度形式表示的变形率。积分点与材料点是一致的。离散方程在网格中nQ个积分点表示为为应力张量的独立分量数目，在二维平面应力问题中，由于应力张量对称，;在三维问题中，。3UL有限元离散通过任何常微分方程的积分方法，如Runge－Kutta法或中心差分法，可以对这个常微分方程系统进行时间积分；见第6章。离散方程式中这是一个标准的初值问题，包括含有速度和应力的一阶常微分方程。消去变形率，

8、所有未知量的个数就变为半离散运动（动量）方程为关于时间的常微分方程3UL有限元离散对于平衡问题，加速度为零，控制方程成为这是真正意义的离散平衡方程。如果本构方程是率无关的，那么离散平衡方程是关于应力和节点位移的非线性代数方程组。对于率相关材料，为了