泛函分析论文.doc

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1、泛函分析期中课程论文泛函分析是一门非常有用的学科，主要涉及赋范空间，有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。现在主要总结第七章和第八章的知识体系。度量空间是现代数学中一种基本的、重要的抽象空间，设为一个集合，若对中任意两个元素，都有唯一确定的实数对与之对应，而且这一对应关系满足下列关系：（I）,且当且仅当；（II），则称是度量空间，常见的度量空间有：（1）n维度量空间；（2）离散的度量空间；（3）序列空间S；（4）有界函数空间B（A）；（5）可测函数空间m()；（6）Ｃ空间；（7）。一、度量空间的极限、稠密集、柯西

2、点列1、度量空间中的极限：设是中点列，如果存在，使，则称点列是中的收敛点列，是点列的极限，设是度量空间中的点集，如果中任何收敛点列的极限都在中，那么称是闭集。2、稠密集：设是度量空间，和是中两个子集，令表示的闭包，如果，那么称集在集中稠密，当时称为的一个稠密子集。3、柯西点列：设是度量空间中的点列，若，NN,使当m,n＞N时，有，称是度量空间中的柯西点列。二、下面总结五种重要的度量空间：1、可分空间：如果度量空间有一个可数的稠密子集，则Ｘ是可分空间，常见的可分空间有：（1）n维度量空间，（2）可数的离散度量空间。2、完备度量空间：若中的任一Cauchy列都

3、在中收敛，则度量空间是完备的度量空间。常见的完备度量空间有：（1）（2）（3），不是完备度量空间的有：，相关的定理有：（1）完备度量空间的子空间是完备空间的充要条件为是中的闭子空间2、线性空间：设是一非空集合，若中的元素满足（1）关于加法成为交换群；（2）对于中每个元素，存在，满足1）2）3）则称Ｘ按上述加法和数乘运算成为线性空间；常见的线性空间有：1）2）3）空间3、赋范线性空间：设X是数域K上的线性空间，若，都有一个实数

4、

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7、与之对应，使得,，αK，且满足（１）

8、

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11、≥0，

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15、=0x=0；（２）

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17、αx

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19、=

20、α

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25、；（３）

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29、≤

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34、+

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38、，则称

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42、为的范数，按范数

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46、成为赋范线性空间。常见的赋范线性空间：1）；2）空间；3）空间，重要的定理有：1）当中范数成为赋范线性空间；2）设是n维赋范线性空间，是的一组基，则存在常数和，使得对一切成立，5、巴拿赫空间：完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。两个重要的巴拿赫空间是：1）空间2）空间，重要的推论有：1）设在有限维线性空间上定义了两个范数和那么必存在常数和，使得；2）任何有限维赋范线性空间都和同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。三、连续映射、压缩映射、巴拿赫不动点定理（压缩映射定理）1、连续映射

47、：设是度量空间到度量空间=中的映射，那么在X连续的充要条件为当时，必有；2、压缩映射：当是到的一个自映射，若存在常数（0＜＜1），使对,，有T,T）≤(,),则称为上的压缩映射。重要定理：1)设函数在带状域中处处连续，且处处有关于的偏导数，如果还存在常数和，满足则方程在区间上必有唯一的连续函数3、巴拿赫不动点定理（压缩映射定理）：设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（就是说，方程=有且只有一个解）；四、线性算子、有界线性算子和连续线性泛函1、线性算子：假设和是两个同为实的线性空间，D是的线性子空间，是D到中的映射，如果对任何D及，有，

48、,则称为D到中的线性算子。2、有界线性算子和连续线性泛函：设和是两个赋范线性空间，是的线性子空间D（Ｔ）到中的线性算子，如果存在常数Ｃ，使对所有，则称是到中的有界线性算子。重要性的定理有：１）设是赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则为有界算子的充要条件为是上的连续算子；２）若是赋范线性空间，是上线性泛函，那么是上连续泛函的充要条件为的零空间是中的闭子空间。五、有界线性算子空间和共轭空间1、有界线性算子空间：设和是两个赋范线性空间，以表示到中有界线性算子全体，当属于，是所讨论的数域中的数时，定义中加法运算及数乘运算：对任意，则按上述线性运算及算子范数成

49、为赋范线性空间。2、共轭空间：设是赋范线性空间，令表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为X的共轭空间。常见的例子：1）的共轭空间是；2）的共轭空间是，其中。重要的定理有：1）当是巴拿赫空间时，也是巴拿赫空间；2）任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间下面将列举泛函分析中巴拿赫不动点定理，也就是压缩映射定理在其他学科中的应用，首先再次回顾这个定理：1、压缩映射：当是到的一个自映射，若存在常数（0＜＜1），使对,，有T,T）≤(,),则称为上的压缩映射。2、定理1：巴拿赫不动点定理（巴拿赫不动点定理）：设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动

50、点（就是说，方程=有且只有一个解）。3、巴拿赫不动点定理除了在泛函