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1、双曲线的几何性质1、范围：方程在直线在 之间图象没有将方程化为因为所以于是，双曲线上点的坐标（x,y）都适合即所以2、对称性：1）几何法观察双曲线的形状，可以发现双曲线既是A轴对称图形又是A中心对称图形实轴长：A2、对称性：2）代数法1）将方程的x用一x代替，方程不变，双曲线关于对称2）将方程的y用一y代替，方程不变，双曲线关于对称3）将方程的x和y分别用一x和一y代替，方程不变，双曲线关于对称y轴x轴原点是双曲线的对称轴，是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。坐称轴原点3、顶点：令得因此，双曲线和x轴有两个交点双曲线的实轴：A双曲线的虚轴
2、：A虚轴长：A双曲线和y轴有两个虚交点实半轴长：A虚半轴长：A实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线特殊:与这两条直线A的平行线。1）渐近线的含义：4、渐近线：，经过A1（-3，0），A2（3，0）也可以看到，双曲线的各支向外延伸时，对于双曲线2）渐近线的求法的渐近线的方程是双曲线作y轴的平行线经过B1（0，-2），B2（0，2）作x轴角线所在直线的方程是逐渐接近四条直线围成一个矩形，矩形的两条对的渐近线的方程是双曲线利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图双曲线的渐近线方程对于双曲线，把方程右边的“1”换成“0”，得双曲线渐近线方程为思考：对于双曲线的渐近线有怎样的结论
3、呢？5、离心率：因为c>a>0，所以离心率的取值范围是：。1）离心率：双曲线的焦距与实轴的比2）双曲线的离心率对所代表双曲线的形状的影响由于所以e越大，也越大，即渐近线的斜率绝对值越大这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，结论：双曲线的离心率越，大它的开口就越。开阔注意：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．等轴双曲线的离心率e=?A1A2B1B2abcx0y几何意义焦点在y轴上的双曲线的几何性质标准方程：几何性质：3、范围：y≥a或y≤-a1、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。2、顶点：B1（0，
4、-a），B2（0，a）实轴B1B2长2a;虚轴A1A2长2b.5、渐近线方程：oYXA1A2B1B2F2F24、离心率：轴:例3：求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。1）2）解：2）把方程化为标准方程分析：把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a=2，虚半轴长b=2；焦点坐标是，；离心率渐近线方程为练习1：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率及渐近线：1）2）3）分析：把方程化为标准方程解：1）把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a=，虚半轴长b=2；焦点坐标是（0，一6），（0，6）；渐近线方程为离心率顶点坐标为练习1：
5、求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率及渐近线：1）2）3）分析：把方程化为标准方程解：2）把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a=3，虚半轴长b=9；顶点坐标是（-3，0），（3，0）；渐近线方程为离心率焦点坐标为练习1：求下列双曲线的实轴、虚轴的长，顶点、焦点的坐标和离心率及渐近线：1）2）3）分析：把方程化为标准方程解：3）把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a=5，虚半轴长b=7；焦点坐标是（0，一5），（0，5）；渐近线方程为离心率顶点坐标为把椭圆与双曲线的性质分析、归纳，完成下表：，，，，a是实长半轴长，b是虚短半轴长，c是半焦距a是长半
6、轴长，b是短半轴长，c是半焦距平面内与两个F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于
7、
8、F1F2）的点的轨迹平面内与两个F1，F2的距离之和等于常数（大于
9、
10、F1F2）的点的轨迹范围a、b、c的意义a、b、c关系标准方程图形定义双曲线椭圆分类把椭圆与双曲线的性质分析、归纳，完成下表（续上表），，，，无关于x轴和y轴对称，也关于原点对称关于x轴和y轴对称，也关于原点对称渐近线对称性双曲线椭圆分类顶点离心率焦点坐标所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。MxyOHFd例5点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线的距离的比是常数,求点M的轨迹.3“共焦
11、点”的双曲线（1）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为（2）与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为..191622=-yx可得,91625,42=-==ba求得455=a由05±），，焦点为（5=c得2524492=-=c解：由另解例：如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求
12、AB
13、F1F2xyOAB法一:设直线AB的方程为与双曲线方程联立得A、B的坐标为由两点间的距离公式得
14、AB
15、=例：如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求
16、AB
17、F1F2xyOAB法二:设直线AB的方程为与双曲线方程联立
