压杆稳定临界力欧拉公式统一推导.pdf

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1、第３４卷第１２期武汉工程大学学报Ｖｏｌ．３４Ｎｏ．１２２０１２年１２月Ｊ．ＷｕｈａｎＩｎｓｔ．Ｔｅｃｈ．Ｄｅｃ．２０１２文章编号：１６７４－２８６９（２０１２）１２－００７１－０４压杆稳定临界力欧拉公式统一推导董冠文，李宗义，赵彦军，王泽荫，杨龙，张庆华，杜建霞，赵典凯（甘肃机电职业技术学院，甘肃天水７４１００１）摘要：针对以往用弯剪方程挠曲线微分方程对压杆稳定临界力欧拉公式做了统一推导，既考虑剪力又考虑弯矩，没有体现真正意义上的杆的整体变形效应的问题，提出了以一端固定另一端铰支的细长压杆微小弯曲挠曲线方程作为统一的挠曲线方程，分

2、别代入压杆两端铰支失稳、压杆一端固定另一端自由失稳、压杆两端固失稳定、压杆一端固定另一端定向可移动夹紧失稳的临界力边界条件的方法．结果表明：压杆两端铰支失稳临界力Ｅｕｌｅｒ（欧拉）公式，长度因数μ＝１；压杆一端固定另一端铰支失稳临界力Ｅｕｌｅｒ公式，长度因数μ＝０．７；压杆一端固定另一端自由失稳临界力Ｅｕｌｅｒ公式，长度因数μ＝２；压杆两端固失稳定失稳临界力Ｅｕｌｅｒ公式，长度因数μ＝０．５；压杆一端固定另一端定向可移动夹紧失稳的临界力Ｅｕｌｅｒ公式，长度因数μ＝１，结果与工程力学或材料力学现有教材完全一致，表明此方法正确可行．使

3、用此方法对压杆稳定临界力欧拉公式做了统一推导，真正体现了杆的整体变形效应，揭示了压杆稳定与拉、压、弯、扭区别的本质．关键词：细长压杆；微小弯曲；压杆稳定；临界力；Ｅｕｌｅｒ公式中图分类号：Ｏ３４文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４－２８６９．２０１２．１２．００４０引言在工程力学或材料力学中对压杆稳定临界力［１］推导方法很多，如静力法、能量法等．分几种不同的约束条件，列出各自不同的挠曲线近似微分方程来求解，但该法过于复杂，教材也不可能全部［１］推导证明．文献［１－２］利用弯矩微分方程和相应的力学边界条件对不

4、同约束条件下的压杆稳定临界力Ｅｕｌｅｒ（欧拉）公式做了统一推导．和一般教材相比，该方法过程虽然大大简化了，但压杆稳定问题本质上属于杆的整体变形效应问题，用边界条件求解容易出现不确定和解的不一致，这一点在文献［３］已经说明．图１一端固定和另一端铰支的细长压杆失稳情况与文献［１－３］不同，以细长压杆微小弯曲的平Ｆｉｇ．１Ｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｐｏｌｅｆｉｘｅｄａｔｏｎｅｅｎｄｔｏｔｈｅｏｔｈｅｒ衡条件建立了推导压杆稳定临界力Ｅｕｌｅｒ公式的ｅｎｄｏｆｓｌｅｎｄｅｒｃｏｌｕｍｎｓｈｉｎｇｅｄｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ统一的挠曲线方程，结合不

5、同约束条件，得到了文２ｄｗＭ（ｘ）ＦｗＦＲ２＝＝－＋（ｌ－ｘ）献［４］中的五种不同约束条件下的压杆稳定临界ｄｘＥｌＥｌＥｌ力Ｅｕｌｅｒ（欧拉）公式．２Ｆ令ｋ＝，上式可以写成Ｅｌ１建立统一的挠曲线方程２ｄｗ２ＦＲ（ｌ－ｘ）２＋ｋｗ＝ｄｘＥｌ为便于分析，现取一端固定，另一端铰支的细以上微分方程的通解是长压杆进行研究．ＦＲ如图１所示，一端固定，另一端铰支的细长压ｗ＝Ａｓｉｎｋｘ＋Ｂｃｏｓｋｘ＋（ｌ－ｘ）（１）Ｆ杆失稳后，为使杆件平衡，上端铰支座应有横向反由此求出ｗ的一介导数为力ＦＲ．于是挠曲线微分方程为收稿日期：２０１２－０９－２３作者

6、简介：董冠文（１９８４－），男，甘肃天水人，助教．研究方向：模具结构中的力学．７２武汉工程大学学报第３４卷ｄｗＦＲ（２ｎ＋１）π＝Ａｋｃｏｓｋｘ－Ｂｋｓｉｎｋｘ－（２）进而有ｋｌ＝ｄｘＦ２２Ｆ２不同杆端约束形式下的细长压杆将ｋ＝代入上式得ＥＩ的临界力（２ｎ＋１）２２πＥＩＦ＝２（２ｌ）２．１两端铰支的压杆取ｎ＝０得临界压力将边界条件ＦＲ＝０，ｘ＝０，ｗ＝０代入式（１）得２πＥＩＢ＝０Ｆｃｒ＝（２ｌ）２将边界条件ＦＲ＝０，ｘ＝ｌ，Ｂ＝０，ｗ＝０代入式（１）得Ａｓｉｎｋｌ＝０因为Ｂ＝０，Ａ与Ｂ不能同时为零，所以有Ａ≠Ｂ即ｓｉｎｋｌ＝０

7、进而有ｋｌ＝ｎπ２Ｆ将ｋ＝代入上式得ＥＩ２２ｎπＥＩＦ＝２ｌ取ｎ＝１得临界压力２πＥＩＦｃｒ＝２ｌ图３一端固定和一端自由的压杆失稳情况Ｆｉｇ．３Ｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｐｏｌｅｆｉｘｅｄａｔｏｎｅｅｎｄｏｔｈｅｒｏｎｅｅｎｄｏｆｔｈｅｆｒｅｅｂｅｎｄｉｎｇ２．３两端固定的压杆ｄｗ将边界条件ＦＲ＝０，ｘ＝０，＝０代入式ｄｘ（２）得Ａ＝０将边界条件ＦＲ＝０，ｘ＝０，ｘ＝ｌ，ｗ（０）＝ｗ（ｌ）代入式（１）得Ｂｃｏｓｋｌ＝Ｂ因为Ａ＝０，Ａ与Ｂ不能同时为零，所以有Ｂ≠０即ｃｏｓｋｌ＝１图２两端铰支的压杆失稳情况进而有ｋｌ＝２ｎπＦｉｇ．２Ｓｉ

8、ｔｕａｔｉｏｎｏｆｂｅｎｄｉｎｇｐｏｌｅａｔｂｏｔｈｅｎｄｓｏｆｔｈｅ２Ｆｈｉｎｇｅｓｕｐｐｏｒｔ将ｋ＝代入上式得ＥＩ２．２一端固定和一端自由的压杆２２４ｎπＥＩＦ＝２ｄｗｌ将边界条件ＦＲ＝０，ｘ＝０，＝０代入式ｄｘ取ｎ＝１得临界压力（２）得２πＥ