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1、第25卷第4期数学理论与应用Vol.25No.42005年12月MATHEMATICALTHEORYANDAPPLICATIONSDec.2005一类上、下限互为倒数的定积分计算方法陈珊(湖南师范大学数学与计算机科学学院,湖南工业职业技术学院,长沙,410007)鲁大庆(长沙理工大学,长沙,410076)摘要本文利用对数函数变换简便地解决了积分上、下限互为倒数的一类定积分计算问题.关键词倒数定积分换元法对数函数AMethodoftheCalculationofIntegrationwiththeReciprocaloftheUpperLimitandtheLowerLimitChenSh
2、an(HunanNormalUniversity,MathematicsandComputerScienceofCollege,Changsha,410007)LuDaqing(ChangshaUniversityofScienceandtechnologyChangsha,changsha,410076)AbstractThispapersolvestheproblemsofthecalculationofintegrationwiththereciprocaloftheupperlimitandthelowerlimitwiththehelpofthechangeoflogarithm
3、icfunction.Keywordsreciprocalintegrationintegrationbypartslogarithmicfunction.利用换元计算定积分,既是定积分计算方法的重点,又是其中的难点,因为它要求在构造变换的过程中,必须同时考虑变换对积分区间和被积函数所带来的变化.1本文针对上、下限互为倒数的积分区间,a(a>1),采用变换t=lnx,使之化为对称a区间[-lna,lna],结合熟知的积分公式aa∫f(x)dx=[f(x)+f(-x)]dx-a∫01将区间,a(a>1)上的一类含指数或对数函数的定积分计算简化.示例如下:ae22sin(lnx)arcta
4、nx例计算I=∫-dxe2x分析此题的被积函数涉及到三角函数、反三角函数、对数函数、幂函数,用通常的分部积分方法不易解决.若根据积分上、下限互为倒数的特点,作变换t=lnx,问题立即被简化.1解令t=lnx,并注意到arctanu+arctan=于是有u2刘再明教授推荐收稿日期:2005年3月7日86数学理论与应用第25卷2t-t222I=∫(arctane+arctane)sintdt=sintdt=.02∫081利用上述方法,对区间,a(a>1)上的一类积分,给出以下结果:a+定理设a>1,n∈Z.记an-1an-1axf(lnx)xf(lnx)f(lnx)I=∫12nd
5、x;J=∫1ndx;K=∫1n+1dxa1+xa1+xax+x(1)若f(t)为奇函数,则I=0;lna(2)若f(t)为偶函数,则J=K=∫f(t)dt.0证明(1)令t=lnx,得lnaf(t)I=∫-ntntdt-lnae+ef(t)因为f(t)为奇函数,则-ntnt也是奇函数,所以I=0e+eaa(2)作变换t=lnx.并用∫f(x)dx=[f(x)+f(-x)]dx以及假设f(-t)=f(t)-a∫0知lnant-ntlnaeeJ=∫01+ent+1+e-nt)f(t)dt=∫0f(t)dt.lnalna11K=∫nt+-nt)f(t)dt=f(t)dt.01+e1+e∫0由上述
6、结果,容易证明:e42004xsin(lnx)422005dt=sintdt=1-.(取n=2005的J型积分)∫e-41+x∫02e111∫142dt=∫2dx=.(取n=3的K型积分)e(x+x)(1+lnx)01+x4xlnt∫12dt=0.x1+t1(其中x>0)(取n=1的I型积分)(此题比用变换t=更简便些).x参考文献[1]同济大学数学教研室.高等数学.高等教育出版社,1998.[2]吉米多维奇.数学分析习题集.山东科技出版社,1999.
