几种积分之间的关系.pdf

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1、几种积分之间的关系⑤③第一类④第二类第一层次定积分曲线积分曲线积分斯克托斯⑨格林公式（P.169）①穿线法公式（P.195）⑥第一类⑦第二类第二层次二重积分曲面积分曲面积分⑧②投影法截面法高斯公式（P.188）第三层次三重积分备注：①关于二重积分在直角坐标系下，面积微元ddxdy；xrcos在极坐标系下，，面积微元drdrd．yrsin②关于三重积分在直角坐标系下，体积微元dvdxdydz；xrcos在柱面坐标系下，yrsin，体积微元dvrdrddz；zzxrsincos2在球面坐标系下，yrsinsi

2、n，体积微元dvrsindrdd．zrcos1③第一类曲线积分fxyds(,)，其中L是xOy面上的光滑曲线段，弧长微元L22ds()dx(dy)．xxt()22情形1：设曲线L的参数方程为，t，则ds[()]xt[()]ytdt，yyt()22fxyds(,)fxtyt(),()[()]xt[()]ytdt（积分上限必须大于积分下限）．L情形2：设曲线Ly:yx()，axb，则把x看作参数t，转化为第1种情形．情形3：设曲线Lx:xy()，cyd，则把y看作参数t，转化为第1种情形．

3、22情形4：设曲线L的极坐标方程为rr()，，则dsr()[()]rd，22fxyds(,)fr(cos,sin)rr()[()]rd（积分上限必须大于积分下限）．L情形5：如果曲线L的方程以一般方程给出，则可以将其先化为参数方程再来计算．上述公式可以推广到空间曲线的情形．xxt()222设的参数方程为yyt()，t，则ds[()]xt[()]yt[()]ztdt，zzt()222fxyzds(,,)fxtytzt(),(),()[()]xt[()]yt[(

4、)]ztdt（积分上限必须大于积分下限）．④第二类曲线积分PxydxQxydy(,)(,)，其中L是xOy面上的有向光滑曲线弧．Lr设tcos,cos表示曲线L的单位切向量，因为有向曲线元uurrdstdscos,cosdsdxdy,（化曲为直），所以PxydxQxydy(,)(,)Pxy(,)cosQxy(,)cosds，即第二类曲线积分是LL第一类曲线积分的特殊情形．xxt()⑤设有向曲线弧L的参数方程为，且当参数t单调地从变到时，点yyt()Mxy(,)从的起点A沿L运动到终点B，则2P

5、xydxQxydy(,)(,)Pxtytxt(),()()Qxtytytdt(),()()L（积分下限对应起点A，积分上限对应终点B）．若Ly:yx()，起点为a，终点为b，则把x看作参数t，化为参数方程的情形．若Lx:xy()，起点为c，终点为d，则把y看作参数t，化为参数方程的情形．上述公式可以推广到空间有向曲线弧的情形．xxt()设的参数方程为yyt()，则zzt()PxyzdxQxyzdyRxyzdz(,,)(,,)(,,)Pxtytztxt(),(),()()Qxtytztyt(

6、),(),()()Rxtytztztdt(),(),()()（积分下限对应起点A，积分上限对应终点B）．⑥第一类曲面积分fxyzdS(,,)，其中是光滑曲面．22情形1：设曲面:zzxy(,)，(,)xyD，则曲面的面积微元dS1zzdxdy，xyxy22fxyzdS(,,)fxyzxy,,(,)1zxyzdxdy．Dxy22情形2：设曲面:xxyz(,)，(,)yzD，则曲面的面积微元dS1xxdydz，yzyz22fxyzdS(,,)fxyzyz(,),,1xyzxdyd

7、z．Dxz22情形3：设曲面:yyzx(,)，(,)zxD，则曲面的面积微元dS1yydzdx，zxzx22fxyzdS(,,)fxyzxz,(,),1yzxydzdx．Dxz⑦第二类曲面积分PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy(,,)(,,)(,,)，其中是有向光滑曲面．r设ncos,cos,cos表示有向曲面的单位法向量，因为有向曲面元3uurrdSndScos,cos,cosdSdydzdzdxdxdy,,（化曲为直），所以PdydzQdzdxRd