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1、课时作业25 空间向量与空间角时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为( )A. B.C.D.图1解析：如图1所示，直线l与平面α所成的角θ＝－＝.答案：C2．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为( )A.B.C.或D.或图2解析：如图2所示，当二面角A－BD－C为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝；当二面角A－BD－C为钝角时，它应等于π－〈n1，n2〉＝π－＝.答案：C3．已知正四棱柱A
2、BCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.图3解析：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图3，设AB＝a，则AD＝a，AA1＝2a.B(a，a,0)，C(0，a,0)，D1(0,0,2a)，E(a,0，a)，＝(0，－a，a)，＝(0，－a,2a)，∴cos〈，〉＝＝＝.答案：C4．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( )A.B.C.D.图4解析：设BC的中点为O，连接AO，A1O
3、，则由题意知A1O⊥平面ABC，AO⊥BC，以AO，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为2a，则OA1＝＝＝a，则A(－a,0,0)，B(0，－a,0)，A1(0,0，a)．所以cos〈，〉＝cos〈，〉＝＝＝＝.答案：D5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为( )A.B.C.D.图5解析：建系如图5，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，E(1，，0)，F(0，，1)，B1(1,1,1)．＝(0,1,0)，＝(0，，－1)，＝(－1，，0)．设平面A1EF的一个法向量为n＝(x
4、，y，z)，则，即.令y＝2，则.∴n＝(1,2,1)，cos〈n，〉＝＝.设A1B1与平面A1EF的夹角为θ，则sinθ＝cos〈n，〉＝，即所求线面角的正弦值为.答案：B图66．如图6所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C－BF－D的正切值为( )A.B.C.D.图7解析：如图7，连结AC，AC∩BD＝O，连结OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B，F，C，D，结合图形可知，＝且为面BOF的一个法向量，由＝，＝，可求得面BCF的一个法向量
5、n＝(1，，)．∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，∴tan〈n，〉＝.答案：D二、填空题(每小题8分，共24分)7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是________．图8解析：以A为原点建立直角坐标系(如图8所示)，设B(2,0,0)，则E(1,0,0)，F(2,2,1)，C1(2,2,2)，A1(0,0,2)，∴＝(1,2,1)，＝(2,2,0)，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝30°.答案：30°图98．如图9所示，P是二面角α－AB－β棱上一点，分别在α，β内引射线PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠
6、MPN＝60°，则二面角α－AB－β大小为________．图10解析：如图10，过M在α内作MF⊥AB，过F在β内作FN⊥AB交PN于点N，连结MN.∵∠MPB＝∠NPB＝45°，∴△PMF≌△PNF.设PM＝1，则：MF＝NF＝，PM＝PN＝1，又∵∠MPN＝60°，∴MN＝PM＝PN＝1，∴MN2＝MF2＋NF2，∴∠MFN＝90°.答案：90°9．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①AC⊥BD；②AB、CD所成角为60°；③△ADC为等边三角形；④AB与平面BCD所成角为60°.其中真命题是________．(请将你认为是真命题的序号都填上)解析：如图11将正
7、方形①取BD中点O，连结AO、CO，易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC；②如图11建立空间坐标系，设正方形边长为a，则A(a,0,0)，B(0，－a,0)，故＝(－a，－a,0)，C(0,0，a)，D(0，a,0)，故＝(0，a，－a)，由两向量夹角公式得：cos〈，〉＝－，故两异面直线所成的角为；图11③在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a解得：AC＝AO＝a，故三角形ADC为等边三角形．
