经过圆锥曲线外一点的切线方程公式.pdf

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1、投稿邮箱：sxjk@vip.163.com数学教学通讯（教师版）试题研究>知识延伸经过圆锥曲线外一点的切线方程公式陈劲松李世臣河南周口师范学院数学与信息科学系466001河南周口市川汇区教体局教研室466001摘要：本文利用线段的定比分点公式简捷地推出了经过非退化圆锥曲线外一点的切线方程公式，同时给￡教出求标准曲线切线方程的推论及几例应用，并将结论推广到三维空间．师版关键词：圆锥曲线；切线方程；二次曲面；切锥面方程经过圆锥曲线外一点求圆锥曲线P（x，y）的切线方程为f（x，y）=x2+4xy+y2+4x+2y+3=0相切的直00的切线方程是一件比较麻烦的事情，（Ax0+B

2、y0+D）x+（Bx0+Cy0+E）y+线方程．本文利用定比分点公式较为简捷地推（Dx0+Ey0+F）=0．解析因为f（0，1）=6，H=4x+2y+4，导出了圆锥曲线外一点的切线方程公将曲线特殊化，容易得到以下推论．由公式（1）得（4x+2y+4）2=6（x2+4xy+y2+式.该公式结构优美，便于记忆，应用x24x+2y+3推论1过定点P（x0，y）向椭圆+），0a2方便，并且很容易将其拓展到三维空即5x2－4xy－y2+4x+2y－1=0，分解因式y2间，得到经过二次曲面外一点的切锥2=1引切线，当点P（x0，y0）不在椭圆上（x－y+1）（5x+y－1）=0，b面

3、方程公式．所求切线方程为x－y+1=0，5x+y－1=时，切线方程为x0x+y0y－12=定理已知定点P（x0，y0）和非退化a2b20．曲线Γ：f（x，y）=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+x2y2x2y2例2求过点P（4，－8）与圆锥曲线－0+0－1－－+－1－；当点P（x，y）a2b2a2b20022F=0，则经过点P（x0，y0）与曲线Γ相切的Γ：f（x，y）=x+xy+y－2y－1=0相切的直线切线方程满足H2=f（x，y）f（x，y）……（1），在椭圆上时，切线方程为x0xy0y方程．00+=1．a2b2其中Η=（Ax0+By0+D）x+（Bx0

4、+Cy0+E）y+解析因为f（4，－8）=63，H=7（1－推论2过定点P（x0，y0）向双曲线22（Dx0+Ey0+F）．y），由公式（1）得［7（1－y）］=63（x+xy+x2y2证明设Q（x，y）是经过点P（x0，y0）-=1引切线，当点P（x0，y）不在双y2－2y－1），a2b20的直线上的任一点，直线PQ与曲线Γ：即9x2+9xy+2y2－4y－16=0，分解因式曲线上时，切线方程为－x0x-y0y－1－2=f（x，y）=0交于点R（m，n），点R分PQ所成a2b2（3x+y－4）（3x+2y+4）=0，x+λxx2y2x2y2所求切线方程为3x+y－4

5、=0，3x+2y+0－0-0－1－－-－1－；当点P（x，y）的比为λ．由定比分点公式得m=，a2b2a2b2001+λ4=0．y0+λy在双曲线上时，切线方程为x0x-y0y=1．该定理可推广到三维空间．n=，代入曲线Γ：f（x，y）=0，整理得a2b21+λ若约定F（x，y，z）≡ax2+ay2+az2+112233推论3过定点P（x0，y0）向抛物线f（x，y）λ2+2Hλ+f（x0，y0）=0……（2）．2a12xy+2a23yz+2a31zx+2a14x+2a24y+2a34z+y2=2px引切线，当点P（x，y）不在抛物线由于直线PQ与曲线Γ相切的充要条00a

6、，F（x，y，z）=ax+ay+az+a（a=a，i=1~44i1i2i3i4iijji件是：关于λ的一元二次方程（2）有相等上时，切线方程为［y0y-p（x0+x）］2=（y2-04，j=1~4），则有如下推广：实数根，即Δ=4H22px）（y2－2px）；当点P（x，y）在抛物线上－4f（x，y）f（x0，y0）=0，整000设点P（x0，y0，z0）不在常态二次曲面理得H2=f，y）．（x，y）f（x00时，切线方程为y0y=p（x0+x）．Σ：F（x，y，z）=0上，则从点P作二次曲面当P（x0，y0）在曲线Γ：f（x，y）=0时，以上结论，形式优美，简洁易记，使

7、的切锥面方程为H2=F（x，y，z）F（x，y，00f（x0，y0）=0，（1）式变为H=0．用方便．z0），其中，H=xF1（x0，y0，z0）+yF2（x0，y0，所以，经过曲线Γ：f（x，y）=0上一点例1求过点P（0，1）与圆锥曲线Γ：z0）+zF3（x0，y0，z0）+F4（x0，y0，z0）．43