资源描述：
《线性系统状态转移矩阵的几种求法及比较_云文在.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2008年6月阴山学刊Jun.2008第22卷第2期YINSHANACADEMICJOURNALVo1.22No.2X线性系统状态转移矩阵的几种求法及比较云文在(包头师范学院数学科学学院内蒙古包头014030)摘要:本文介绍了求解线性定常系统的齐次状态方程中线性系统状态转移矩阵的三种方法,并就方法的优劣作了比较。关键词:线性系统;状态空间;状态方程;转移矩阵中图分类号:O231文献标识码:A文章编号:1004-1869(2008)02-0007-031引言4状态转移矩阵的算法在现代控制理论中,线性系统的状态空间可用线性系统有线性定常系统和线性非定常系统,数学的方法
2、来描述,即建立描述动力学系统的数学最为基本的是线性定常系统。本文只给出线性定常模型———系统状态空间方程,再用数学的方法求出系统的状态转移矩阵的三种求法,并作比较。该方程解的数学表达式,从而揭示系统状态的运动4.1定常系统的齐次状态方程规律和基本特征。研究系统运动的基础是线性系统n维线性定常系统的齐次状态方程为:的自由运动。Ûx=Ax(t),x(t0)=x0,t≥t0线性系统的自由运动是线性系统的零输入运其中x(t):线性定常系统的n维状态向量;动,即输入向量u(t)=0及初始状态的x(t0)≠条A:线性定常系统的n×n系统矩阵(各元件下系统的运动,即在此条件下用
3、数学的方法求齐素与时间t无关)。次状态方程Ûx=A(t)x(t)的解x(t)。由于线性定常系统的性质不随时间变化,为方便分析,可取初始时刻t0=0。此时系统状态转移矩2线性系统齐次状态方程的一般形式阵Φ(t,t0)=Φ(t,0)=Φ(t)。Ûx=A(t)x(t),x(t0)=x0,t≥t04.2状态转移矩阵的三种求法其中x(t):线性系统的n维状态向量;方法一:直接求法。AtA(t):线性系统的n×n系统矩阵;上述齐次状态方程的解为x(t)=ex(0),其中AtÛx(t):线性系统的n维状态向量的导数。e为矩阵指数函数,并且:At1221iie=I+At+At+⋯
4、+At+⋯3线性系统状态转移矩阵的概念2!i!∞iiAt=∑At,显然Φ(t)=e(t0=0)。齐次状态方程解的一般表达式:1i-0ii!x(t)=Φ(t,t0)x(t0)01例1.已知系统矩阵A=,求系统的其中Φ(t,t0)称为线性系统状态转移矩阵,它-1-2是一个非奇异矩阵。状态转移矩阵Φ(t)。X收稿日期:2007-12-21作者简介:云文在(1964-),男,蒙古族,副教授,研究方向:应用数学。71001At211-122解:Φ(t)=eAt=+t+Φ(t)=e=I+(PBP)t+PBPt+2!01-1-2⋯2301011213t+t+⋯121ii2!-1
5、-23!-1-2+i!(PBP)t+⋯111λ2323101-t+t+⋯t-t+t+⋯=PeBtP21=Pe0wλtP-1232n=。λt2133223e10-t+t-t+⋯1-2t+t-t+⋯22321=PwP。方法二:拉普拉斯变换求法。λt0en对线性定常系统的齐次状态方程两边求拉普拉01斯变换,得sX(s)-x(0)=AX(s),例3.已知系统矩阵A=,用化A-2-3即(sI-A)X(s)=x(0),为对角规范型方法求Φ(t)。-1有X(s)=sI-A)x(0)λ-1At-121解:
6、λI-A
7、==(λ+2)(λ+1)∴x(t)=e=L[(sI-A)]x(0
8、),得2λ+3At2121Φ(t)=eL[(sI-A)]。=0,得特征值λ1=-1,λ2=-2,非奇异变换矩阵例2.就例1中的系统矩阵A,用拉普拉斯变换1111P==,法求Φ(t)。λ1λ2-1-2s-12121解:(sI-A)=,P=,所以1s+2-1-1-t111e0+AtBt-1-1s+1(s+1)2(s+1)2Φ(t)=e=PeP=PP-2t(sI-A)-1=,0e-111-t-2t-t-2t-2e-ee-e2s+12(s+1)(s+1)=。-t-2t-t-2t取拉普拉斯反变换得:-2e+2e-e+2eAt-1-1⑵矩阵A有重特征值Φ(t)=e=L[(sI
9、-A)]设A有r重特征值λ1,m重特征值λ2,互异特-t-t-te+tete=。征值λr+m+1,⋯,λn。则存在一个非奇异变换矩阵-t-t-t-tee-te-1P,可将系统矩阵化为约当规范型J,即PAP=J,方法三:化矩阵A为对角规范型或约当规范型-1A=PJP。求法。r-1⑴矩阵A的特征值互异dp1dp1其中P=P1,,⋯,r-1,P2,dλ1dλ1设A的特征值为λ1,λ2,⋯,λn,且互异。则存m-1dp2dp2在范德蒙矩阵P把A化为对角规范型B,即dλ2,⋯,dλm-1,pr+m+1,⋯,Pn2P-1AP=B,A=PBP-1,其中2n-1TP1=1,λ1,
10、λ1,⋯,
