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1、第8章多元函数微分法一主要内容二典型例题1、多元函数一、主要内容2、多元函数的极限3、多元函数的连续性4、偏导数5、全微分多元函数连续、可导、可微的关系偏导数连续函数连续函数可微函数可偏导6、复合函数求导法则7、隐函数的求导法则8、微分法在几何上的应用9、方向导数和梯度10、多元函数的极值1、区域（1）邻域连通的开集称为区域或开区域．（2）区域（3）聚点（4）n维空间2、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数．3、多元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（
2、3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算5、多元函数的连续性在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理6、多元连续函数的性质7、偏导数概念８、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.９、全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导10、全微分的应用主要方面
3、:近似计算与误差估计.11、复合函数求导法则以上公式中的导数称为全导数.12、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.隐函数的求导公式13、隐函数的求导法则14、微分法在几何上的应用切线方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面(２)曲面的切平面与法线切平面方程为法线方程为15、方向导数记为三元函数方向导数的定义梯度的概念梯度与方向导数的关系16、多元函数的极值定义多元函数取得极值的条件定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.极值点注意驻点条件极值：对自
4、变量有附加条件的极值．二、典型例题例解证令则同理不存在.？例解例解解例法13个方程,4个变量的方程组,确定了3个1元函数:方程组两边对x求导解法2方程组两边微分,得{解例把v看成常数，u看成变量，得到曲面上的u曲线同理,把u看成常数,v看成变量，得到曲面上的v曲线沿梯度方向的方向导数为最大方向导数,其值为梯度的模.解则设曲面上的任意点为且在此点的法向量上的任意一点处的切平面都过原点.例则切平面方程为:显然,(0,0,0)满足切平面方程上的任意一点处的切平面都过原点.例解拉格朗日乘数法.法1得即得唯一驻点
5、根据题意距离的最小值一定存在,且有故必在取得最小值.唯一驻点,设P(x,y,z)为旋转抛物面法向量上的任一点.法2例两种产品A1，A2，其年需要量分别为1200件和2000件,分批生产,每批生产准备费分别为40元和70元.每年每件产品的库存费为0.15元,按批量的一半收库存费,若两种产品的总生产能力为1000件,试确定最优批量Q1，Q2，使生产准备费与库存费之和最小.解：总费用函数(库存费与生产准备费的和)为:最优批量Q1=369，Q2=631，生产准备费与库存费之和最小.2002年考研数学(一),7分
6、例设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为小山的高度函数为(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.是说,要在D的边界线上找出使(1)中的g(x,y)达到最大值的点.试确定攀岩起点的位置.也就解(1)由梯度的几何意义知,方向的方向导数最大,h(x,y)在点M(x0,y0)
7、处沿梯度方向导数的最大值为该梯度的模,所以(2)令由题意,只需求在约束条件下的最大值点.令则(1)(2)(3)(1)+(2):从而得由(1)得再由(3)得由(3)得于是得到4个可能的极大值点可作为攀登的起点.练习题DBBCA
