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1、第四节函数单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法二、曲线的凹凸性与拐点三、小结1一、单调性的判别法f(x)>0aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)<02定理设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(1)如果在(a,b)内f(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.3证应用拉氏定理,得(1)(2)4例解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个
2、区间上的单调性．5例解6单调区间求法问题:通过上面例子，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．7求单调区间的方法:1.求出方程的根和不存在的点2.通过这些点来划分f(x)的定义区间3.判断区间内导数的符号。8例解9例证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,10例证明:当x>1时,证f(x)在[1,+)上连续,在(1,+)内f(x)>0,因此在[1,+)上单调增加,从而当x>1时,即11
3、例.证明时,成立不等式证:令从而因此且证12*证明令则从而即13二、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方14定义(描述定义)1.如果在区间(a,b)内，曲线y=f(x)在其上任意一点的切线的上方，则称曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凹的(或下凸的)； 2.如果在区间(a,b)内，曲线y=f(x)在其上任意一点的切线的下方，则称曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凸的(或下凹的)；（1）凹（2）凸15定义16曲线凹凸的判定定理117证:任取记利用拉格朗日中值定理,说明(1)
4、成立;(2)证毕18判别函数的凹凸性的一般步骤∶1)确定函数的定义域.2)在定义域求出函数二阶导数为零或不存在的点,用这些点把定义域分成若干个部分区间.(同时求出函数二阶导数大于零或小于零的区间)3)在各部分区间内根据函数二阶导数的符号来判判别凹凸性.注意:若函数在某一点两边二阶导数符号同号,则应考虑合并区间.特别地,若函数在这一点的一阶导数连续,则应合并.19例解注意到,20定义.若函数在区间I上连续,不是I的端点,如果曲线在经过点时,曲线的凹凸性发生了改变,称这样的点为此曲线的拐点.简单地说,拐点就是连续曲线上凹凸的分界点.根据拐点的定义
5、及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.拐点的简易判别法:若,而21注意:1.拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.在拐点处连续曲线上凹凸的分界点称为拐点.22例解凹的凸的凹的拐点拐点23注意:例解24附加内容:曲线的渐近线定义：251.水平渐近线例如有水平渐近线两条:26例如有铅直渐近线两条:2.铅直渐近线273.斜渐近线斜渐近线求法:28注意:例解2930例求曲线的渐近线解31内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上的凹凸分界点32思
6、考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.设在33.2.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及作业P1523(5);5;6；9(6);10;14;15;;34
