高数课件第一章函数与极限.ppt

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1、高等数学初等数学——常量数学高等数学——变量数学它是学习其它专业课所必须的基础知识，函数极限连续高等数学是一门基础理论课，所用的工具是极限。也是解决科学技术问题的重要工具。高等数学研究的对象是函数，函数以a为中心任何开区间，称为点a的邻域，记作一预备知识1.集合2.区间3.绝对值邻域表示方法:4.邻域设有两个变量x与y,如果变量x内任取一个确定数值时，在其变化范围D变量y按照一定的规则有唯一确定的数值和它对应，1.定义则称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)二.函数概念3.求定义域2.分段函数4.性质5.反函数其定义为D,值域为W，由两个或

2、两个以上数学式子表示的有界性、一个函数单调性、奇偶性、周期性记作x=f-1(y),定义.给定函数y=f(x)，如果对于W中任一值y=y0，必定在D中有唯一的x0,使f(x0)=y0,我们说在W上确定了y=f(x)的反函数，三.复合函数1.基本初等函数(六种)（1）常数函数（6）反三角函数（3）指数函数（5）三角函数（2）幂函数（4）对数函数由F(x,y)=0确定的函数y=f(x)，6.隐函数是x的隐函数2.复合函数设y是u的函数y=f(u)，且的值域包含在y=f(u)的定义域内，则通过变量u,y就是x的函数，记作y=f[]而u称为中间变量而u

3、=又是x的函数.称这个函数为y=f(u)及u=复合而成的复合函数3.初等函数由基本初等函数通过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的且能用一个解析式子表示的函数均为初等函数研究复合函数，经常需要将一个复合函数分解成几个简单函数的形式。四.双曲函数与反双曲函数1.双曲函数2.反双曲函数反双曲正弦反双曲余弦反双曲正切例分解复合函数为几个简单函数的形式极限1、数列自变量为整数的函数称为整标函数，将整标函数的函数值按自然数顺序排列出来的一列数记作称为数列数列中的每一个数叫作数列的项第n项un叫作通项一、数列极限2、数列的极限定义1.给定数列｛xn｝,

4、如果当n无限增大时｛xn｝无限趋近于某个确定的常数a,则称a为n趋于无穷时数列｛xn｝的极限或者称数列｛xn｝收敛于a,记作或例如一尺之棒，日取其半，万世不竭。《庄子．天下篇》载一段话即一尺长的木棒,每天取下它的一半,每天取下它的长度是一个数列,当n→∞时,无限趋于常数0,但永远不等于0.这就是万世不竭.定义2使得当时，则称常数a为数列xn或（）记为若数列xn没有极限，则称数列xn是发散的设a为常数，如果对于任意给定的正数（不论多么小），总存在正数N，恒有当时的极限，几何意义：若将数列的项用数轴上的对应点表示，则数列xn收敛于A意味着，总存在

5、着整数N，使当时所有的点xn都落在点A的邻域之内，而只有有限个（至多个）落在这个邻域之外，于是点就是点列xn凝聚中心不管多么小例证明思考：数列是否有两个极限，为什么？证：因要使若取正整数由定义可以证明。1).如果数列｛xn｝收敛于a,则｛xn｝的任意子列｛xn′｝也收敛于a.即但反之不成立（M为常数）即2).如果数列｛xn｝收敛,则一定为有界数列二、函数的极限3）如何刻划这种变化趋势1）作图2）当时，f(x)与哪个常数无限接近给定一个函数y=f（x），在变量x充分大以后有定义，如果当x无限增大时，函数y=f（x）无限趋近于某一个常数a，定义1

6、几何意义定义2则得数列极限的定义。特例数列极限结论当x取自然数n.1）画图3）用什麽方法刻画这种趋势？2.极限2）当,f(x)时,变化趋势如何？例研究函数f(x)与1愈来愈近当x与0无限接近(并不是x=0之意)时,当时的变化趋势。定义1设对某个常数h>0,函数y=f（x）的实数集函数f（x）的值无限趋近于某一确定常数a，上有定义，如果当自变量x无限趋于x0（x≠x0）时设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，若对于任意给定的正数,总存在正数，恒有记作则称常数a为当时的极限，（可除外）a为一常数，使当时，或定义2注意1）意为从x0两侧无限接近x0

7、2）即使函数f(x)在x0点无定义，仍可考虑记忆法：给定任意小，必可找，邻域内，距离任意小。的存在问题3）表示思考：若函数f(x)在x0有定义4）由定义知：，x0为任意实数是否一定成立例2证明几何意义证任意给定因为欲使只要例3证明对于任意给定因为所以要使只要例4证明证对于任意给定的正数因为欲使只要2、左、右极限记作1）右极限函数y=f（x）在实数集上有定义，设对某个常数h>0,左极限2）函数y=f（x）在实数集上有定义，设对某个常数h>0,定理记作左极限和右极限统称为单侧极限例5例6注意不要把无穷小与很小的数混为一谈！定义5无穷小与无穷大1、

8、无穷小注：1）无穷小是一个变量，而不是一个数因而0是无穷小2）当时，满足无穷小的定义，3）当（或）时，函数与零无限制地逼近定义6定理21.无穷大是一个变量，而不是数