高等数学8-2偏导数课件.ppt

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1、第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数1一、偏导数定义及其计算法回顾：导数的定义23注意:4同样可定义对y的偏导数5偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处67例1.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.8例2.设证:求证9解10不存在．11有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解12３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，13显然因为,在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.14思考:不能.例如,15是曲线在点M

2、0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的4、偏导数的几何意义16xzy0由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)L：L=tan偏导数的几何意义.y=y0同理，.Tx固定y=y017Mz=f(x,y)Lx=x0固定x=x0Tx.xzy0偏导数的几何意义18M由一元函数导数的几何意义：z=f(x,y)L=tan.x=x0TxTy.xzy0固定x=x0偏导数的几何意义19几何意义:20定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f

3、(x,y)的二阶偏导数.21按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:混合偏导22类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为23例7.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及24例如,二者不等25问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？26则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.初等函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而当

4、三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有27例8.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程28练习题设方程确定u是x,y的函数,连续,且求解:29作业P181（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）30内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)31思考与练习解答提示:P73题5P73题5,6即x＝y＝0时,32P73题6(1

5、)(2)33