高等数学无穷小量与无穷大量课件.ppt

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1、第一章函数极限连续§7无穷小量与无穷大量0d0当0

2、x-x0

3、d时有

4、f(x)-A

5、

6、x-x0

7、d时有

8、[f(x)-A]-0

9、

10、f(x)

11、无限增大那么称函数f(x)为当xa时的无穷大记为当xa时为无穷大

12、的函数f(x)按函数极限定义来说极限是不存在的但为了便于叙述函数的这一性态我们也说“函数的极限是无穷大”.无穷大的定义二、无穷大[形式记法,实际上极限不存在]M0d0当0

13、xx0

14、d时有

15、f(x)

16、M无穷大的精确定义正无穷大与负无穷大如果当xa时

17、f(x)

18、无限增大那么称函数f(x)为当xa时的无穷大记为无穷大的定义[形式记法,实际上极限不存在]注意:1铅直渐近线定理3在自变量的同一变化趋势下，若f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(

19、x)≠0，则为无穷大。例2铅直渐近线则称直线x=x0是函数y=f(x)的铅直渐近线水平渐近线的铅直渐近线铅直渐近线水平渐近线水平渐近线如果¥®xlimf(x)=A,则直线y=A称为函数y=f(x)的图形的解例3因为因为解例4因为无穷大与无界之间的关系在自变量的某一变化过程中f(x)是无穷大，则f(x)无界；反之不然。例如，当x→∞时，函数y=xsinx是无界的，但不是无穷大。怎样说明？解例5显然函数y=xsinx在（-∞，+∞）是否有界？当x→+∞时，这个函数是无穷大？为什么？所以函数y=xsi

20、nx在（-∞，+∞）无界。因为所以当x→+∞时，y=xsinx不是无穷大。练习提示观察与比较观察两个无穷小比值的极限：两个无穷小比值的极限的各种不同情况反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度在x0的过程中x2比3x趋于零的速度快些反过来3x比x2趋于零的速度慢些而sinx与x趋于零的速度相仿三、无穷小的阶无穷小的阶设a及b为同一个自变量的变化过程中的无穷小阶的比较举例所以当x0时3x2是比x高阶的无穷小即3x2=o(x)(x0)所以当x3时x2-9与x-3是同阶无穷小例

21、2例1例3所以当x0时1-cosx是关于x的二阶无穷小例4证明例5证明注:可以证明,对任意非零数m有定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)关于等价无穷小的定理必要性:证明所以b–a=o(a)因为设a~b只需证b–a=o(a)充分性:设b=a+o(a)则因此a~b定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)关于等价无穷小的定理定理2证明求两个无穷小比值的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替如果用来代替的无穷小选取得适当则可使计算简化定理2的意义

22、:解当x0时tan2x~2xsin5x~5x所以解当x0时sinx~x无穷小x3+3x与它本身显然是等价的所以例7例8例9解常用等价无穷小错解注:计算极限时,无穷小在乘除运算中可以作等价无穷小代换,但在加减运算中不可.例9