两圆一线&两线一圆.doc

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1、两线一圆在数学学科中，常有寻找满足条件的图形的探索题，根据我的教学实践，在此浅谈初中数学中寻点构等腰三角形的这类问题。　问题：苏科版教材八年级上册数学第一章轴对称图形中，学习了等腰三角形之后，解决这样的题目，如图（1）在正方形ABCD所在的平面上找一点P，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，符合条件的点P有几个？（1）　研究：已知一条线段AB，寻找一点P使得△PAB为等腰三角形，这样的点P在哪儿呢？　　答：点P在线段AB的垂直平分线上和分别以点A、B为圆心，AB长为半径的圆上（点P不与线段AB共线），如图（2），图中

2、的点P1、P2、P3等都能使△PAB为等腰三角形，点P只能在这样的一线两圆上。　　解决：如果让学生探讨了上述研究后再解决数学中的一些问题，学生做题时就能得心应手了。　　例如：问题中的题目如图（1）在正方形ABCD所在的平面上找一点P，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，符合条件的点P有几个？分析：大多数甚至是全部学生没有确定的方法去寻找，学生们最新找到的是对角线的交点，再找其它点就感到困难了，就是能力好的同学可能会多找几个，但是很难找全，造成这种结果的原因是学生没有正确的方法寻找，学生们都是凭感觉找的，就像大海里捞针

3、一样困难。　　（1）按照上面研究的方法画出正方形中四条边长的所有一线两圆，如图（3），共有九个点符合要求，这样做不会漏解，不会错误，而且速度很快。应用：　　例1：如图（4）在等边△ABC所在的平面上找一点P，使得△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，符合条件的点P有几个？　　解：如图（5）很多学生首先找到的是三条边的垂直平分线的交点，再找就难了，但按照画一线两圆的办法画出等边三角形三边的一线两圆就可以快速的找到符合条件的点共有七个。　　例2：如图（6），在平面直角坐标系XoY中，点A的坐标为（-1,0），点B的坐标为（0，），坐标轴

4、上是否存在点M使得△MAB为等腰三角形，若存在请写出点M的坐标，若不存在请说明理由。解：如图（7）先在平面直角坐标系中画出一线两圆，观察寻找一线两圆与坐标轴的交点，这些点即为符合条件的点M，　　点M的坐标为M1（0,2）、M2（-2,）、M3（-3,0）、　　M4（0，-）、M5（0，-2）、M6（1,0）、M7（0，）。　　总之，只要是这种已知一条线段，在一定的图形上寻找一点使得点和线段构成的三角形是等腰三角形这样的问题，都可以用画一线两圆的办法来试试，可以快捷的解决问题，在学习中，我们就应该注重在学习知识的过程中学习解决问题的方法策略

5、，让自己形成较强的解决问题的能力。两线一圆例2.在如图6中，直线l的同侧有两点A和B，请在直线l上找出点P，使得△ABP为直角三角形.这样的点P有几个？请在图中都表示出来.要解决这个问题，只需画“两线一圆”，即先连结AB，分别过点A、B画线段AB的垂线，再以AB为直径为画圆（见图7），就可很轻松地找到所求的四个点，也就是刚才所画的“两线一圆”与直线l的四个交点P1、P2、P3、P4，所以这样的直角三角形共有四个.当然这种点P的个数有时会因为图中点A、B和直线l之间的相对位置不同而发生变化.这种做法的依据还是运用分类的思想，即（1）当点A为

6、直角顶点时，点P在过点A且垂直于AB的直线上（图8甲）；（2）当点B为直角顶点时，点P在过点B且垂直于AB的直线上（图8乙）；（3）当点P为直角顶点时，点P在以线段AB为直径的圆上.练习3.如图9，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出…………………（）A.6个B.7个C.8个`D.9个练习4.已知点A是抛物线的顶点，点B也在此抛物线上，且横坐标为5，P是坐标轴上的点，且△ABP为直角三角形.（1）请求出满足条件的所有点P的坐标；（2）在以上这些三角形中，面积最大和最小的三角形的面积分别是多

7、少？练习4是本人原创的综合性较强的一个题目，所涉及的知识点非常多，有二次函数、一次函数、圆的基本知识、三角形（直角三角形、三角形的面积和相似三角形等）、勾股定理、方程等等.同时也涉及了许多数学思想如函数思想、方程思想和分类思想等等.希望读者能结合上面所述的方法自行研究，并从中得到一些启发和感悟.对于初中生来说，虽然他们已经解过数不胜数的数学题，但他们的理解能力、抽象思维能力和概括归纳能力等还是比较弱的，所以对一些较难的问题，教师若能经常帮助其恰当而简洁地进行及时总结，定会收到事半功倍的效果.