矩阵分析基础ppt课件.ppt

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1、矩阵分析简介本章讨论矩阵序列的极限运算，然后介绍矩阵序列和矩阵级数收敛的定理,矩阵幂级数的极限运算和一些矩阵函数，如sinA,cosA,eA等，最后介绍函数矩阵的微积分。此前我们只研究了矩阵的代数运算，但在工程实际中，特别是涉及到多元分析时，还要用到矩阵的分析运算。同微积分理论一样，矩阵分析的理论建立，也是以极限理论为基础的，其内容丰富，是研究数值方法和其它数学分支的重要工具。3.1、矩阵序列与矩阵级数3.3、函数矩阵的微积分3.2、矩阵幂级数定义3.1为中的矩阵序列，其中j=1,2,…,n均成立，不收敛的矩阵3.1.1矩阵序列如果对i=1,

2、2，…，m，序列称为发散的。又。收敛，而A称为则称矩阵序列矩阵序列的极限，记为。讨论矩阵序列的收敛性。例1根据定义，只须求出它的每一个元素的极限即可，解：它的极限为：其中因此由矩阵序列极限的定义可以看出，矩阵序列收敛的性质和数列收敛性质相似。由定义可见，中的矩阵序列的收敛相当于mn个数列同时因此可以用初等分析的方法来研究它。收敛。但同时研究mn个数列的极限未免繁琐，我们可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限。定理3.1则矩阵序列收敛于矩阵A的充要条件首先，利用范数的等价性知，对于中的任意证：存在常数,使得即有因此，只需证明定理对一种特定的矩阵范

3、数成立即可。为中的矩阵序列，设为中的收敛于零。是和两个矩阵范数，一种矩阵范数，即收敛于零是一致的。-范数加以证明。我们选取，均有因此，-范数的定义，对于根据证毕推论3.1则证：需要指出的是，此结论只是充分条件，反过来不一定成立。和矩阵显然有但是矩阵序列Ak不收敛，故更不收敛于矩阵。给定矩阵序列，知结论成立。由，，并且设，性质3.1和为中的矩阵序列，并且则证由由定理3.1，可知结论成立。设，性质3.2和分别为和并且，则证由由定理3.1和推论3.1可知，结论成立。中的矩阵序列，设和A∈Cn×n均为可逆矩阵，设∈Cn×n中的矩阵序列，性质3.3并且

4、则因为(Ak)-1和A-1存在，所以又有证其中为Ak的第ij个代数余子式。性质3中条件和A均为可逆的是不可少的。可逆也不能保证A一定可逆。于是，因为即使注意，例如，对于都有但是不可逆。在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列。关于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理。设A∈Cn×n，例2证明的充分必要条件是证必要性一种矩阵范数均有因此对充分大的k,因此得由定理3.1，的充分必要条件是对任意利用矩阵谱半径的定义以及相容矩阵范数的性质有：必有根据定理2.9，对于一种相容的矩阵范数又根据相容矩阵范数的性质有，于是，根据定理3.1知，推论，有

5、则，使得充分性一定存在设A∈Cn×n，若对Cn×n上的某种范数判断对下列矩阵是否有（1）（2）（1）取则，令得进而得于是，故练习题，由推论，故（2）因为解：3.1.2矩阵级数设为由矩阵序列构成的矩阵级数，记为定义3.3，称之为矩阵级数若矩阵序列收敛且，则称矩阵级数收敛，而矩阵S称为矩阵级数的和矩阵，记为不收敛的矩阵定义3.2的前k项部分和。记级数称为发散的。为Cm×n中的矩阵序列，称和式显然，和的意义指的是:即m×n个数项级数均为收敛的。例，k=0,1,2,…,解：因为于是故矩阵级数收敛，且和为S。的收敛性，研究矩阵级数其中定理设A为n阶方阵

6、，则有收敛的充要条件是而且存在Cn×n上的算子范数‖·‖，使得（1）（2）当收敛时，有证必要性的前k项部分和与前k+1项部分和分别为：因此，利用极限运算法则有根据例2，收敛，若矩阵级数则有又级数充分性则有由则存在某种范数‖·‖，使得又有，根据矩阵序列极限法则，有由，且（I-A）可逆。可知，其中由于，故从而收敛，且有计算从而，进一步有。解：矩阵级数收敛的定义与数项级数的定义没有本质的区别，我们有一些类似于数项级数的概念和结论。定义3.4为Cm×n中的矩阵级数，其中如果对任意的1≤i≤m,1≤j≤n均为绝对收敛的，对比矩阵级数绝对收敛的定义以及高

7、等数学中的数项级数的绝对收敛的定义可以得出矩阵级数收敛的一些性质。设绝对收敛。矩阵级数则称并且任意调换各项的顺序所得到的级数还是收敛的，性质3.5若矩阵级数是绝对收敛，则它一定是收敛的,不变。且级数和性质3.6收敛。利用矩阵范数的等价性，只需证明对于∞-范数定理成立即可。1≤i≤m，1≤j≤n，一个与N无关的正数M,从而有因此为收敛的正项级数。绝对收敛的充要条件是正项级数矩阵级数证必要性如果是绝对收敛的，由定义即对任意的均绝对收敛，即存在充分大的N和使得如果为收敛的正项级数，可知m×n个级数所以矩阵级数是绝对收敛的。充分性均为绝对收敛的，那么

8、有为则按任何方式排列得到的级数也是绝对收敛的，且和为AB因为矩阵级数和均为绝对收敛的，MA、MB使得对任意的正整数p，均有，均满足设为Cm×n中的绝对收敛的矩阵级数