一阶格式和二阶格式误差对比.pdf

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1、导数边界值问题一阶格式和二阶格式的误差比较06140211陈永鑫（一）问题应用差分格式计算如下两点边值问题对比一阶格式和二阶格式误差''xu(x)u(x)e(sinx2cosx)''u(0)1,u()e（二）求解方法描述x首先该方程有解析解u(x)esinx，有了这个以后可以与我们接下来的数值解进行比较，以此来判断求解方法是否精确。A一阶格式ui12uiui12qiuifih(uu)h,uuh,1im10mm12将h乘到该方程的两端可

2、得到：22u[2hq(x)]uuhf(x)i1iii1i(uu),uuh,1im10mm1π因为在这个题目中q(x)=1，1,e0,0所以，12将这个线性方程写成矩阵形式：11u0h2212h1u1hf(x1)2212h1um1hf(xm1)π11uhem即可以化成方程Au=b，若A非奇异则u=inv(A)*b，则可以

3、得到解。所得到u0,u1,u2um即为以h为网格步长得到的网格结点的数值解。（三）程序的思路首先在matlab中建立两个函数文件f.m和q.m，这两个函数文件分别代表偏微分方程中的f(x)和q(x)。根据题目f.m为functiony=f(x);y=exp(x)*(sin(x)-2*cos(x));q.m为functiony=q(x);y=1;这样当题目中的f(x)和q(x)需要发生变化时只要改变f.m和q.m中的函数即可，不需要去改变主程序。在h设定以后，m()/h1，所以系数矩阵为(m-1

4、)*(m-1)的三对角矩阵，通过循环对于这个矩阵进行赋值，将u1,u2um1放入2bhf(y)向量y中，这样方程右边为赋值程序为clc,clearh=pi/160;x=zeros(1,pi/h+1);fori=1:pi/h+1x(i)=(i-1)*h;endy=x(1:pi/h+1);%x1到x(m+1)组成的矩阵fy=zeros(1,pi/h+1);%f(x1)到f(x(m+1))组成的矩阵fori=1:pi/h+1fy(i)=f(y(i));endA=zeros(pi/h+1,pi/h+1);%

5、系数矩阵为Afori=1:pi/h+1A(i,i)=2+h*h*q(x(i));endfori=1:pi/hA(i,i+1)=-1;endfori=2:pi/h+1A(i,i-1)=-1;endA(1,1)=1;A(pi/h+1,pi/h+1)=1;b=(h*h*fy)';b(1)=-h;b(pi/h+1)=-exp(pi)*h;%方程右端求解程序为：u=inv(A)*b;%求得方程的解画图程序为：a=0:0.001:pi;b=exp(a).*sin(a);plot(a,b)%绘制解析解的图holdonpl

6、ot(X,Y,'-*')%绘制数值解的图holdofflegend('u(x)数值解','u(x)解析解');title('h=pi/160的数值解和解析解的图像')（四）程序的结果以h=pi/160为例得到的图像为：我们发现h的值取的越小时，解析解和数值解所得到的图像越接近，为了证实这个我们对数值解的误差进行研究。我们分别取h/10,/20,/40,/80,/160进行研究，这样得到数值解，我们取x/5,2/5,3/5,4/5进行研究并放在一个矩阵中x又解析解u(x)esinx可以

7、得到精确值为[1.10183.34166.26377.2564]即部分结点的取值表为hxΠ/52Π/53Π/54Π/5Π/1601.06443.27196.13347.0125Π/3201.08323.30696.19887.1348Π/6401.09253.32436.23137.1957Π/12801.09723.33306.24757.2261Π/25601.09953.33736.25667.2412精确解1.10183.34166.26377.3264x/5,2/5,3/5,4/5处解

8、析解和数值解的误差矩取不同步长在阵取不同步长时部分结点处数值解的误差的绝对值和数值解的最大误差hxΠ/52Π/53Π/54Π/5E(h)E(2h)/E(h)Π/1600.03730.06970.13040.24380.4565*Π/3200.01850.03470.06490.12160.22772.005Π/6400.00923.32430.03240.06070.11372.003Π/12800.00460