电磁场与电磁波第1章矢量分析课件.ppt

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1、第一章矢量分析1.1场的概念和表示法1.2三种常用的坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量散度1.5矢量场的环流旋度1.6亥姆霍兹定理1.1场的概念和表示法场的概念：物理系统中某物理量在该区域的一种分布。标量场：被描述的物理量是标量，用一个标量函数来描述矢量场：被描述的物理量是矢量，用一个矢量函数来描述场不仅具有空间属性，还具有时间属性静态场：物理系统的状态只按空间分布，不随时间变化，即物理系统的状态是静态的；记为（标量场）和（矢量场）；时变场：物理系统的状态不仅按空间分布，还随时间变化，即场的分布是动态的；记为（标量

2、场）和（矢量场）；一个矢量场在具体坐标系中可以分解为三个分量场。例如：在直角坐标系中，静态场可表示为、、所以，一个矢量场对应三个标量场其中，、、都是标量场1.2三种常用的坐标系1.2.1直角坐标系坐标变量:变量取值范围:单位矢量：（）任一矢量可表示为：位置矢量：微分元：度量系数：面积元：体积元：图1.2.2直角坐标系中的体积元1.2.2柱坐标系图1.2.3柱坐标系坐标变量:变量取值范围:单位矢量：（）任一矢量可表示为：位置矢量：微分元：度量系数：面积元：体积元：图1.2.4柱坐标系的体积元1.2.3球坐标系图1.2.5球坐标系坐标

3、变量:变量取值范围:单位矢量：（）任一矢量可表示为：位置矢量：微分元：度量系数：面积元：体积元：图1.2.6球标系的体积元1.2.4三种坐标系的坐标变量之间的关系（1）直角坐标与柱坐标系的关系（2）直角坐标与球坐标系的关系（3）柱坐标系与球坐标系的关系1.3标量场的递度1.3.1标量场的等值面标量场μ(x,y,z)的等值面方程为图1.3.1标量场的等值面曲面上的各点,虽然坐标不同,但函数值相等1.3.2标量场的方向导数梯度函数在的梯度定义图1.3.2方向导数和梯度函数在点沿方向的方向导数若点M在等值面上移动,根据微分定义而标量场的

4、方向导数的定义直角坐标系中哈密顿算符表示为直角坐标系中梯度计算公式为柱坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为球坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为1.4矢量场的通量散度1.4.1矢量场的通量n的指向有两种情况：（1）对开曲面上的面元，的取法要求围成开表面的边界走向与满足右手螺旋法则（2）对闭合面上的面元，一般取外法线方向空间面元矢量：面元大小与面元垂直的单位矢量图1.4.1空间中的面元将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：如果曲面是一个封闭曲面，则图1.4.2矢量场的通量

5、与源的关系（体积内存在着流体的源）（体积内存在着流体的负源）（体积无流体的源）1.4.2矢量场的散度称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量积，即直角坐标系中的散度计算公式为柱坐标系中的散度计算公式：球坐标系中的散度计算公式：1.4.3高斯散度定理高斯散度定理的意义：任意矢量场的散度在场中任意体积内的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合面上通量。将闭合面包围的体积分成无穷多个体积元...,并使最大体积元……………例1.4.1点电荷位于球坐标原点，此电荷的电场强

6、度在空间中分布如下（1）计算在的球面上，电场强度穿出的通量。（2）计算空间各点（）电场强度的散度。解：位于坐标原点的电荷的电场，电场强度的方向总在方向上，呈发散状分布。在球面上任取一面元，则在球面上的通量为对于的空间各点，电场强度的散度为图1.4.4点电荷的电场与1.5矢量场的环量旋度在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即1.5.1矢量场的环流旋涡场在空间中的分布形态可从两个方面来描述:(一)旋涡场在空间中旋转的快慢程度(二)旋涡场的旋转面在空间中怎样取向环流越大，场在C围成的面上旋

7、转越快。(a)S面与旋涡面垂直(b)S面与旋涡面相交(c)S面与旋涡面平行图1.5.3C上环流的三种情况可以证明，在发散场中，对于任选的空间闭合曲线C上的环流恒为零。1.5.2矢量场的旋度此极限说明了在m点附近，场在C围成的面上单位面积的平均环流在直角坐标系中，图1.5.4直角坐标系中的于是：同理：则：=柱坐标系中：行列式形式为：球坐标系中：行列式形式为：旋度有两个重要的性质（读者自己证明）：（1）矢量场的旋度的散度恒为零，（2）标量场的梯度的旋度恒为零，1.5.3斯托克斯定理因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环

8、量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和，即此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。1.6亥姆霍兹定理亥姆霍兹