2、-r(T-t)f=E[emax(0,ST-K)],^其中ST是股票在T时刻的价格,E表示对风险中性概率分布求期望值,而ST的风险中性概率分布为2σlnST～N(lnSt+(r-)(T-t),σT-t)22其中N(α,β)是均值为α,方差为β的正态分布函数。通过计算上述的期望值,就可得到布莱克—斯科尔斯期权定价公式(见①p.244或②)。这种方法很简单。然而,在某些更为复杂的情况下(例如利率是随机的,或者股票价格不是连续的扩散过程),风险中性概率分布是非常复杂的,有时甚至不存在显式表达式。在这种情况下,通过求数学期望得到
3、期权的定价公式是难以实现的。而解微分方程的方法则更有效。本文从求解期权的基本微分方程的角度来求得期权定价公式。我们引入一个一般的偏微分方程。该偏微分方程包括布莱克—斯科尔斯③期权基本微分方程,默顿(Merton④)支付红利股票期权基本微分方程,以及布莱克(Black⑤)期货期权基本微分方程。利用一般偏微分方程的解,可直接获得布莱克—斯科尔斯期权定价公式,默顿支付红利期权定价公式,以及布莱克期货期权定价公式。我们的方法为求得一般期权定价公式提供了一个基本框架。二、一个偏微分方程的解考虑下面偏微分方程·54·21225f(
4、t,x)5f(t,x)5f(t,x)ax2+bx+=cf(t,x)(1)25x5x5t其中a,b,c是常数,t是时间变量,x=x(t)是参数t的函数,取正值。边界条件为:fT=f(T,xT)=φ(xT),T>t(2)其中φ(·)是连续函数,xT=x(T)。下面我们来求方程(1)在边界条件(2)之下的解。首先作变换τ=T-t,u=lnx。定义新的函数F如下,uF=F(τ,u)=f(Τ-τ,e)=f(t,x)(3)则方程(1)可变为2125F125F5Fa2+(b-a)-=CF(4)25u25u5τ边界条件为:μμF0=F
5、(0,eT)=φ(eT)(5)其中uT=lnxT。再作变换-B(τ,u)V=V(τ,u)=F(τ,u)e(6)B其中B(τ,u)为待定函数。由(6)可得F=Ve,于是方程(4)可变为:2125V1225B5V5Va2+(b-a+a)-25u25u5u5τ2125B125B2125B5B+V[a2+a()+(b-a)--C]=0(7)25u25u25u5τ选择B(τ,u)使1225Bb-a+a=0,25u(8)2125B125B2125B5Ba2+a()+(b-a)--C=025u25u25u5τ由上式可得:5B5B=δ
6、,=β(9)5τ5u其中2a-2bβ=2,2a1221212δ=a(β-1)+(b+a)β-a-c(10)222为此,我们取B(τ,u)=δτ+βu(11)这时方程(7)变为:2125V5Va2=(12)25u5τ边界条件为:·55·-B(0,u)uV0=eTφ(eT)(13)而方程(12)即为标准的热传导方程,解为(见⑥,p.69)2∞(u-u)1-B(0,u)u-TV(τ,u)=∫eTφ(eT)e2a2τduT(14)2πτa-∞如果φ(x)=max{0,x-k}(15)其中k为常数,则(14)式变为2∞(u-u)
7、1-B(0,u)u-TV(τ,u)=∫eTmax{0,eT-k}e2τdu2aT2πτa-∞2∞(u-u)1-βuu-T=∫eT(eT-k)e2a2τduT2πτalnk=V1(τ,u)-KV2(τ,u)(16)其中∞(u-u)21TV1(τ,u)=∫exp{-βuT+uT-2}duT(17)2πτalnk2aτ∞(u-u)21TV2(τ,u)=∫exp{-βuT-2}duT(18)2πτalnk2aτ2在(17)式中,令y=-[uT-u+(β-1)aτ]/aτ,则222(β-1)aτ1[u-lnk-(β-1)aτ]/
8、aτ12-yV1(τ,u)=exp{-βu+u}∫e2dy22π-∞2(b-c)τu-B(τ,u)u-lnk-(β-1)aτ=eeeΦ()(19)aτ其中Φ(·)为标准正态分布函数。同理可得:2-cτ-B(τ,u)u-lnk-aτβV2(τ,u)=eeΦ()(20)aτ于是由(3)、(6)、(16)、(19)和(20)式可得:f(
