经管3_4函数的单调性与凹凸性课件.ppt

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1、主讲教师:王升瑞高等数学第十九讲1第四节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章2一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).证:无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,证毕I称为单调递增(递减)区间。3例1.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为为驻点.4说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,5例2证明令则从而即证：原式化为6例3证明证：令令从而成立7例4.证明

2、证:设,则故时,单调增加,从而即思考:证明时,如何设辅助函数更好?提示:8例5求证证法一：设当时当时综上可知，无论x为什么值，总有则不等式成立。当时9例5求证证法2：设则无论为什么值，总有则不等式成立对f(x)在0与x之间应用拉格朗日中值定理，有式中在0与x之间，由于与x同号，10例6证明方程在区间(0,1)内有且仅有一个实根。证明：设在区间[0,1]上连续，由零点定理，使即的根存在。又单调增加。的图形至多与x轴有一个交点，所以方程仅有唯一解。11二、曲线的凹凸性与拐点12定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸

3、的.二、曲线的凹凸与拐点13定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数定义.连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.拐点：14定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数15例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的

4、凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,16例2.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸17例3.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上为凹,为凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸18证明:当时，有证明:令,则是凸函数.即例4.(自证)19例5求证证明：因为不等式中同时含有则用单调性证明有困难，利用凹凸性证明设是凹函数求证在是凹函数，必满足在即有20有位于一直线的三个拐点.求证曲线证明：例621令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.22内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单

5、调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点23思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.设在24.2.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及;;25作业P1211(1)；2(2);4(1)；5B1;2(1)26