随机变量函数的分布课件.ppt

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1、3.7随机变量函数的分布由(X,Y)的分布导出Z=g(X,Y)的分布1一、(X,Y)为二维离散型随机变量若X和Y相互独立,则有2例1设(X,Y)的分布律为:XY1122101/122/122/121/121/1202/121/122/12试求Z=X+Y的分布律3解:由已知,可得:(X,Y)(2,1)(2,1)(2,2)(1,1)P1/122/122/121/12Z3102(X,Y)(1,1)(1,2)(0,1)(0,1)(0,2)P1/1202/121/122/12Z011124

2、∴Z=X+Y的分布律为:Z321012P1/121/124/123/121/122/125二、(X,Y)为二维连续型随机变量1.一般函数的分布即Z的分布函数是(X,Y)落入区域D:g(x,y)≤z的概率FZ(z)=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}fZ(z)=FZ(z)6例2设X和Y是相互独立的随机变量,且都服从标准正态分布N(0,1).试求:Z=X+Y的概率密度解:FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}7xyx+y=z令y=tx则8令9则可见，Z～N(0,2)分布10一般,X与Y相互独立,且X

3、～N(1,12),Y～N(2,22)则Z=X+Y仍然服从正态分布,且Z～N(1+2,12+22),还可推广:有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布11例3设X与Y相互独立,它们的概率密度分别为:求的概率密度解:FZ(z)=P{Z≤z}12xy当z≤0时,当z>0时,FZ(z)=01314例4设X与Y相互独立,它们的概率密度分别为:试求:Z=X+Y的概率密度解:15当z<0时,当0≤z<1时,xy0z1FZ(z)=0fZ(z)=0=z1+ezfZ(z)=FZ(z)=1e

4、z16当z≥1时,01zxy综合,得:=1+eze1zfZ(z)=FZ(z)=(e1)ez172.Z=max{X,Y}或Z=min{X,Y}的分布(1)Z=max{X,Y}的分布函数:FZ(z)=P{Z≤z}若X与Y相互独立则FZ(z)=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z)=P{X≤z,Y≤z}18(2)Z=min{X,Y}的分布函数:FZ(z)=P{Z≤z}=1P{Z>z}=1P{X>z,Y>z}若X与Y相互独立则FZ(z)=1P{X>z}P{Y>z}=1[1P{X≤z}]

5、[1P{Y≤z}]=1[1FX(z)][1FY(z)]19例5对某种电子装置的输出测量了5次,得到的观察值为X1,X2,X3,X4,X5,设它们是相互独立的装置,且都服从同一分布试求:Z=max{X1,X2,X3,X4,X5}>4的概率20P{Z>4}=1P{Z≤4}=1FZ(4)由已知,有FZ(z)=[F(z)]5则P{Z>4}=1[F(4)]5=1(1e－2)5解:21