期权定价课件.ppt

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1、期权定价问题的Black-Scholes方程和二叉树法乐经良在世界大多数证券市场上,有一种期权实际问题(option)的交易.例如,某种股票的现价为风险年利率r=10%;若客户希望拥有在六个月即S=42美元,该股票的年波动率s=20%,市场的无的权利,而届时他也可以放弃这种权利.试问:为0.5年后以约定价格X=40(美元)购进这种股票拥有这种购买的选择权,客户该付多少钱?换言之,这种期权的价格为多少?乐经良背景知识衍生证券—期权(option)看跌期权(putoption)：卖出标的物欧式(European)期权；美式(American)期权期权价格：一种未定权益的价格

2、Black—Scholes方程约定价格无风险利率看涨期权(callopton)；购进标的物乐经良简单分析股票的现价为S,由于股票价格的波动率,到Sd($37.8)显然前一情况客户会执行期权，后一情单计,暂且假定涨跌幅均为10％,则有u=1+10％期时价格可能上扬为Su,也可能下跌为Sd.为简=1.1，d=1-10％＝0.9Su($46.2)S($42)况会放弃期权乐经良在股票价格为$46.2时,客户必定以敲定价格期权价格在股票价格为$37.8时,客户必定放弃这约在期满日T时,期权价格为Vu(6.2)反问题：由VT求V$40购进股票.这时期权的价格应为Vu=Su-X=46

3、.2-40=6.2(美元)定的股票购买权,这时期权的价格应为Vd=0(美元)VT=max(ST–X,0)Vd(0)V?乐经良如何定价的思路基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而组合的目的是使之不具有风险,从而可获得无其中采取的投资组合(portfolio)的策略.假定现在套利者卖出一份股票期权,价格为V,再以价格S买进a份这种股票,那么该组合的价格为风险利率，那么在期权期满日,组合增值后价值为乐经良由于组合无风险，故将数据代入ρ=e0.1×0.5,u=1.1,d=0.9,得到V=4.454时价格股价上涨时股价下落时另一方面，如前面分析，这组合在期权满日乐经良再作分析记

4、那么注意p正是股票价格上扬的概率,1-p是股票价格下跌的概率，于是乐经良这意味着可以由Vu和Vd来导出VVu(6.2)Vd(0)乐经良Black–Scholes方程利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以Black-Scholes方程虽然影响巨大,但是它的对于欧式期权，这个方程可以求出解的公式导出数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和掌握.尤其令人遗憾的是:对于美式期权,由于方程的定解问题更为复杂,不可能求出解的表达式.乐经良二叉树在简单分析中.有一个显然的问题,例子中事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们如前所述,股票预期收益率等于无风险利率到期满日股价只有两种可能以

5、及涨跌幅10％的假定都是很粗略的将T分为很多小的时间间隔Dt,而在每一个Dt,股票价格变化由S到Su或Sd.若价格上扬的概率为p,那么下跌的概率为1-p故有乐经良利用概率论的知识，可以导出确定有关常数乐经良股票价格二叉树图Su4Su3Su2Su2SuSuSSSSdSdSd2Sd2Sd3Sd4这是一个T=4t的二叉树图乐经良计算期权的价格期权的预期收益率也应该等于无风险利率,期权的计算将从树图故VuVd的末端(T时刻)开始向后倒推进行.时刻T的期权价值是已知的,可倒推出前一个时刻的期权价格V乐经良计算的实例59.3919.3956.0552.9116.3952.9113

6、.5812.9149.9449.9447.1413.5847.1410.2847.148.567.817.1444.4944.4944.49426.51426.71424.83424.834.043.16239.6439.6439.642.7937.422.0237.421.1137.421.270.61035.3235.320.3433.34033.340031.47029.700乐经良算得期权价格当t=1/12,得到V=$4.83当然t越小，可得越精确的结果利用Matlab编制m文件后可以取t充分小，例如取t=1/360,求得期权价格＝$4.76乐经良美式期

7、权的例子股票现价S＝50(美元),该股票的年波动率格X=50(美元),美式看跌期权的有效期为五个为s=40%,市场的无风险年利率r=10%;敲定价月,即T=0.4167(年)意味着期权持有者有权在五月内的任何一天执行期权,即他可以用敲定价格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃这种权利.那么这种期权的定价应为多少?乐经良有关数据若将T分成五段,每段长度1个月,则t＝0.0833(年),利用已知数据可以求出乐经良用二叉树计算89.0779.350070.7070.7062.99062.9900.63056.1256.1256.12502.