圆周率的计算.ppt

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1、圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一,早在大约3700的古埃及人就已经用256/81（约3.1605）作为它的近似值了.几千年来,人们一直没有停止过计算其精确值的努力.“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标”_____两个任务:了解圆周率的计算过程设计计算圆周率的方法实验一圆周率的计算1、实验时期通过实验进行估算,这是计算圆周率 的的第一阶段中国:“圆径一而周三”----《周髀算经》(2)“周三径一,方五斜七”----木工口诀古埃及：数谷粒与称重量：2、几何算法用圆内接正多边形和圆外

2、切正多边形逼近的方法6边形12边形24边形圆刘徽:割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣3.14145240288(n=3072)阿基米德祖冲之的这一研究成果享有世界声誉:巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率,莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像,月球上有以祖冲之命名的环形山……公元5世纪,祖冲之《隋书·律历志》：“宋末,南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间.密率:圆

3、径一百一十三,圆周三百五十五约率,圆径七,周二十二。”1579年,韦达证明1630年,德国人鲁道夫:小数点以后35位1150年,印度数学家婆什迦罗:3.141614241424年,中亚细亚数学家卡西:3.14159265358979325……….3.141 592 653 589 794 238 462 643 383 279 502 883、分析方法从十七世纪中叶起,人们开始用分析方法来求π的近似值,其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数.麦琴(Machin)给出(Machin公式)1656年,沃里斯(Wallis)证明取

4、k=10取k=20欧拉证明了(1735)注：BaselProblem,1644年提出1、Buffon投针1.在白纸上画上许多条间距为d的平行直线2.取长为l(l

5、x,θ]计算针和直线相交的概率是设投掷n次,相交m次,则针与线相交的频率为m/n针与平行线相交的条件n=2212,Buffon:π=3.142;n=5000,Wolf:π=3.1593d=45;l=36;n=20000;x=[];y=[];P=[];Q=[];fori=1:n,x1=rand*d*0.5;y1=rand*pi;if2*x1<=l*sin(y1),x=[x,x1];y=[y,y1];elseP=[P,x1];Q=[Q,y1];endendm=length(x),p=2*l*n/(d*m)s=0:0.01:pi;plo

6、t(s,l*sin(s)/2,'k','Linewidth',2)holdonplot(y,x,'r.'),plot(Q,P,'b.'),plot([0,pi],[0,0],'k','Linewidth',2),plot([0,pi],[22.5,22.5],'k','Linewidth',2)plot([0,0],[0,22.5],'k','Linewidth',2),plot([pi,pi],[0,22.5],'k','Linewidth',2)axis([-0.2,3.3,-2,24])利用蒙特卡洛算法计算圆周率利用蒙特卡洛

7、算法计算定积分2、互素数分布取一个大整数N,在1到N之间随机取一对整数a,b,它们互素的概率注：随机整数randint(1,1,[])求a,b最大公约数gcd(a,b)5、数值积分方法数值积分方法6、代数迭代对正数a0,b0,定义算术均值数列和几何均值数列若两数列极限相等,则称此极限为它们的算术几何均值,记为AGM(a0,b0)取则有记年代19491973198919992011精确位数2035100万10亿2061亿2000万亿“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都

8、不能分辨的一个量。”——西蒙·纽克姆实验一小结1、几何算法:割圆法,正多边形逼近圆2、分析算法:无穷级数,有限项逼近无穷项3、数值分析:定积分计算,矩形逼近曲边梯形4、概率统计:蒲丰投针、整数互素……提示:思考题(1)能设计其它计算圆周率的算法吗?