资源描述：
《《数学物理方法》复习课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数学物理方法复习1§1.1.1复数的定义和基本概念在实数范围内，代数方程z2+1=0没有解．如果把数域扩大，则可得到两个根，我们把*称为虚数单位，并规定它与实数在一起可进行通常的四则运算．这样，形如z=x+iy的数（其中x，y为实数）称为复数.实数x与y分别称为复数的实部与虚部，记作x=Rez，y=Imz当x1=x2，y1=-y2时，则称z1=x1+iy1与z2=x2+iy2互为共轭复数。2在使用平面极坐标时，复数平面上的点可用极坐标(ρ，φ)表示,它与x,y的关系为:从笛卡尔直角坐标变换到平面极坐标，就可从复数的代数表示式变换到三角表示式:这里ρ
2、为复矢量的长度，称为复数的模j为复矢量与x轴的夹角，称为复数的辐角3一个复数对应于无限多个辐角，设j0是其中的一个，则通常用argz表示辐角Argz的主值，主值的取值范围是还应指出，复数z=0的辐角没有确定值，说”z=0”的辐角等于多少”是没有意义的。复数的指数表示为z＝reij（1.1.10)利用欧拉公式eij=cosj+isinj可以将复数的三角表示变换为指数表示①z＝reij=r(cosj+isinj)（1.1.11)4§1.1.3复数的运算规则(1)加法复数z1和z2的和定义为z=z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)=(x1+x2
3、)+i(y1+y2)复数加法的几何意义是：两个复矢量的和遵守平行四边形法则。从右图可以得到两个重要不等式：（三角形两边长之和不小于第三边）（三角形两边之差小于第三边）等号是在三角形变成直线时成立．这些不等式在导出复变函数积分的基本性质时要用到．5(2）减法复数的减法是作加法的逆运算来定义的．若存在z，使得z2+z=z1,则称z为复数z1与z2之差，即z=z1-z2=(x1+iy1)-(x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2)（3）乘法复数z1与z2的乘积定义为z=z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2–y1y2)+i(x1y
4、2+y1x2)特别是：(x+iy)(x-iy)=x2+y2，即两共轭复数的乘积等于它们的模的平方（简称模方）6（6）开方复数的开方是乘方的逆运算。将开n次方，就是求满足方程的复数w，记作为此，设将w及z0代人即有由此得到即即（k为整数）由可见，k=0与k=n得到相同的w，k=1与k=n＋1得到的w相同…，只有当k=0，1，…，n-1时，得到的w是不同的，即仅有n个不同w的值满足这样，复数的n次根有n个不同值7§1.2.1区域如果将函数的概念由实数域推广到复数域，那么自变量取值的范围就是复平面上的区域（称为定义域），如图1.4所示，开区域D是指边界线
5、L所包围的区域（不含边界线L)如果要给区域作出严格的定义，则要介绍有关点集（点的集合）的一些基本概念8[例1.2.1]在复平面上画出下述区域，并指出区域的连通性：9(2)首先把辐角不等式变为关于x,y的不等式．令102.函数极限的性质11§1.2.4复变函数的连续1.连续函数的定义设w=f(z)是在z0点邻域中定义的函数．若任给实数e>0,存在实数d＞0，使当
6、z-z0
7、＜d时，有
8、f(z)-f(z0)
9、＜e(1.2.30)则称函数w=f(z)在z0处连续。在极限的定义中，只要求在z0点的无心邻域0＜
10、z-z0
11、＜d中
12、f(z)-w0
13、＜e，w0可
14、以不等于f(z0)；在连续的定义中要求在z0点的邻域
15、f(z)-f(z0)
16、＜e。f(z)是x,y的函数，因而w=u+iv也是x，y的函数，f(z)在z0=x0+iy0连续与u(x,y)，v(x,y)在(x0,y0)连续是等价的。如果w=f(z)在D内每一点连续，则称函数在D内连续。12§1.3.1导数与微分1.导数的定义与导数公式设w=f(z)是区域D中定义的单值函数，若在D内某点z，极限存在，则称函数f(z)在z点可导，并称此极限值为f(z)在z点的导数，记作13§1.3.2复变函数可导的充分必要条件定理函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y
17、)在(x,y)点可导的充要条件是(1)u(x,y)与v(x,y)在(x,y)点可微；(2)u(x,y)与v(x,y)在(x,y)点满足柯西一黎曼条件(简称C-R条件)采用简写记号C-R条件可简写为14§1.4.1解析函数的定义若函数f(z)在区域D内点点可导，则称f(z)为D内的解析函数．若函数f(z)在z0点的邻域(
18、z-z0
19、＜e)点点可导，则称f(z)在z0点解析，它比“f(z)在z0点可导”要求为高(参看例1.4.1).若函数f(z)在包含的某个开区域D+内解析，则称f(z)在闭区域中解析．15§1.4.2函数解析的充要条件定理:函数f(z
20、)在区域D内解析的充要条件为(1)f(z)在D内连续；(2)u，v遵守C-R条件．1617复变函数的积分积分存在的条件及计
