《高等数学》同济六版教学课件第3章微分中值定理与导数的应用.ppt

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1、第六节一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘函数图形的描绘第三章无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,一、曲线的渐近线定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有铅直渐近线例1.求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为铅直渐近线.2.斜渐近线斜渐近线若(P76题14)例2.求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.二、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.

2、求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周例3.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点)(极小)4)例4.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点.原方程两边对x求导得①①两边对x求导得3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义又因即5)求特殊点为斜渐近线6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点无定义例5.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于y轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线(极大)(拐点)水平渐近线;垂直渐近

3、线;内容小结1.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2.函数图形的描绘思考与练习1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:拐点为,凸区间是,2.曲线的凹区间是,提示:及渐近线.P7614(2);P1692;5作业第七节备用题求笛卡儿叶形线的渐近线.解:令y=tx,代入原方程得曲线的参数方程:因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线叶形线笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线参数的几何意义:图形在第四象限图形在第二象限图形在第一象限点击图中任意点动画开始或暂停第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容

4、:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径平面曲线的曲率第三章一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点M处的曲率注意:直线上任意点处的曲率为0!转角为例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则

5、例2.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且l<

6、心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使设曲线方程为且求曲线上点M处的曲率半径及曲率中心设点M处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.满足方程组由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,的轨迹G称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G的渐伸线.屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例4.设一工件内表面的截痕

7、为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例3(仍为摆线)例5.求摆线的渐屈线方程.解:代入曲率中心公式,得渐屈线方程摆线摆线摆线摆线半径为a的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点M的轨迹即为摆线.参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率

8、相同.2.求双曲线的曲率