2015年高考数学（理科）真题分类汇编M单元　推理与证明.doc

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1、数学M单元　推理与证明M1　合情推理与演绎推理11．M1[2015·山东卷]观察下列各式：C＝40；C＋C＝41；C＋C＋C＝42；C＋C＋C＋C＝43；……照此规律，当n∈N*时，C＋C＋C＋…＋C＝________．11．4n－1　[解析]归纳可知，C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.M2　直接证明与间接证明16．[2015·湖南卷]N1(1)选修41：几何证明选讲如图15，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(i)∠MEN＋∠NOM＝180°；(ii)FE·FN＝FM·FO.图15N3(2)选修44：坐标系与参数方程已知直线l

2、：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(i)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(ii)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求

3、MA

4、·

5、MB

6、的值．N4、M2(3)选修45：不等式选讲设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(i)a＋b≥2；(ii)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．16．(1)证明：(i)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠ME

7、N＋∠NOM＝180°.(ii)由(i)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.(2)解：(i)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(ii)将代入②，得t2＋5t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，

8、MA

9、·

10、MB

11、＝

12、t1t2

13、＝18.(3)证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(i)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2(当且仅当a＝b时等号成立)，即a＋b≥2.(ii)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时

14、成立，则由a2＋a<2及a>0，得00，函数f(x)＝eaxsinx(x∈[0，＋∞))．记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点．证明：(1)数列{f(xn)}是等比数列；(2)若a≥，则对一切n∈N*，xn<

15、f(xn)

16、恒成立．21．证明：(1)f′(x)＝aeaxsinx＋eaxcosx＝eax(asinx＋cosx)＝eaxsin(x＋φ)，其中tanφ＝，0<φ<.令f′(x)＝0，由x≥0，得x＋φ＝m

17、π，即x＝mπ－φ，m∈N*.对k∈N，若2kπ0；若(2k＋1)π

18、π－φ)sinφ，公比为－eaπ的等比数列．(2)由(1)知，sinφ＝，于是对一切n∈N*，xn<

19、f(xn)

20、恒成立，即nπ－φ0)．设g(t)＝(t>0)，则g′(t)＝.令g′(t)＝0，得t＝1.当01时，g′(t)>0，所以g(t)在区间(1，＋∞)上单调递增．从而当t＝1时，函数g(t)取得最小值g(1)＝e.因此，要使(*)式恒成立，只需.而当a＝时，由tanφ＝＝>且0<φ<知，<φ<.于是π－φ<<，且当n≥

21、2时，nπ－φ≥2π－φ>>.因此对一切n∈N*，axn＝≠1，所以g(axn)>g(1)＝e＝，故(*)式恒成立．综上所述，若a≥，则对一切n∈N*，xn<

22、f(xn)

23、恒成立．M3数学归纳法22．B3、M3、E7[2015·湖北卷]已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nan(n∈N＋)，e为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较与e的大小；(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；(3)令cn＝(a1a2…an)，数列{an}