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1、考点规范练14 导数的概念及运算 考点规范练B册第8页 基础巩固1.已知函数f(x)=3x+1,则limΔx→0f(1-Δx)-f(1)Δx的值为( ) A.-13B.13C.23D.0答案A解析limΔx→0f(1-Δx)-f(1)Δx=-limΔx→0f(1-Δx)-f(1)-Δx=-f'(1)=-13×1-23=-13.2.已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为( )A.eB.-eC.1eD.-1e答案C解析由题意可得y=lnx的定义域为
2、(0,+∞),且y'=1x.设切点为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0).因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为1e.3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则切点横坐标为1的切线方程是( )A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=0答案B解析由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)上的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0).因为y'=
3、-2x+1,所以y'
4、x=1=-1,故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.4.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=( )A.-1B.0C.2D.4答案B解析由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-13,故f'(3)=-13.∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'(3)=f(3)+3f'(3).又由题图可知f(3)=1,∴g'(
5、3)=1+3×-13=0.5.(2016河南郑州二模)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为( )A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)答案C解析∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.设点P(x,y),则f'(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+
6、ax+b相切于点A(1,2),则ab等于( )A.-8B.-6C.-1D.5答案A解析由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.∵y'=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,即ab=(-2)3=-8.故选A.7.(2016山东,文10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质
7、.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3答案A解析设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2).则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2),若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.A项,f'(x)=cosx,显然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;B项,f'(x)=1x(x>0),显然k1·k2=1x1·1x2=-1无解,故该函数不具有性质T;C
8、项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2=ex1·ex2=-1无解,故该函数不具有性质T;D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3x12×3x22=-1无解,故该函数不具有性质T.综上,选A.8.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,则a等于( )A.-1或-2564B.-1或214C.-74或-2564D.-74或7答案A解析因为y=x3,所以y'=3x2.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03),则在该点处的切线斜率为k=3x02
9、,所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=32.当x0=0时,由y=0与y=ax2+154x-9相切,可得a=-2564;当x0=32时,由y=274x-274与y=ax2+154x-9相切,可得a=-1.9.已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1,其导函数记为f'(x),则f(2016)+f'(2016)+f(-2016)-f'(-2016)= .〚导学号74920448〛 答案2解析∵f(x)=1
