控制系统状态空间描述课件.ppt

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1、根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)由高阶常微分方程建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型根据状态变量图及系统方块图列写状态空间模型多输入多输出线性系统非线性系统由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1)1.1由高阶常微分方程建立状态空间模型本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论由不含输入量导数项和由含输入量导数项的微分方程建立状态空间模型。微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)1.1.1微分方程中不包含输入量的导数项描述单输入单输出线性系统的输入输出间动

2、态行为,不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型--状态空间模型本节问题的关键是如何选择状态变量。微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y’(t0),…,y(n-1)(t0)已知,则对给定的输入u(t),微分方程有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定。因此,选择状态变量为如下

3、变量x1(t)=y(t),x2(t)=y’(t),…,xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻划系统的动态特性。取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理意义明确,易于接受。微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程和输出方程y=x1微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)该状态空间模型可简记为:其中微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)上述式子清楚说明了状态空间模型中

4、系统矩阵A与微分方程中的系数a1,a2,…,an之间,输入矩阵B与方程中系数b之间的对应关系。通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例2-1例将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”’+6y”+11y’+6y=6u解本例中a1=6a2=11a3=6b=6因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,由课本式(1-4)和(1-7)可得状态空间模型如下P11例1.2微分方程中包含输入量的导数项(1/11)1.1.2.微分方程中包含输入量的导数项

5、描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型--状态空间模型建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?微分方程中包含输入量的导数项(2/11)若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即x1(t)=y(t),x2(t)=y’(t),…,xn(t)=y(n-1)(t)则可得如下状态方程根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为分段连续,而上述状态方程

6、中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接将输出y的各阶导数项取作状态变量。微分方程中包含输入量的导数项(3/11)为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常,可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原则是:使状态方程中不显含输出u的各阶导数。基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。微分方程中包含输入量的导数项(4/11)根据上述原则,选择状态变量如下其中i(

7、i=0,1,…,n)为待定系数。用anan-1an-2.....a1分别乘于上式两边，移项后可得：与P13方法有所不同，但本质一样微分方程中包含输入量的导数项(4/11)y(n)=xn+1+β0u(n)+β1u(n-1)+…+βnu以上两式左边和右边分别相加后，左边等于原线性方程的左边，所以右边相加的结果也应等于原线性方程的右边。由此可解得：微分方程中包含输入量的导数项(5/11)因此,有微分方程中包含输入量的导数项(7/11)则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型微分方程中包含输入量的导

8、数项(9/11)-例2-2例将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”’+5y”+8y’+4y=2u”+14u’+24u解本例中a1=5a2=8a3=4b0=0b1=2b2=14b3=24因此,有0=b0=01=b1-a10=22=b2-a11-a20=43=b3-a12-a21-a30=-12微分方程中包含输入量的导数项(10/11)-例2-2即得