函数方程及其应用历年高考题 .pdf

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1、第三节函数、方程及其应用1.（2009福建卷文）若函数fx的零点与gx4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则fx可以是A.fx4x1B.fx(x1)2C.fxex1D.fxIn1x2答案A解析fx4x1的零点为x=1,fx(x1)2的零点为x=1,fxex1的零4点为x=0,fxIn1的零点为x=3.现在我们来估算gx4x2x2的零x2211x点，因为g(0)=-1,g()=1,所以g(x)的零点x(0,),又函数f的

2、零点与22gx4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有fx4x1的零点适合，故选A。2.(2009山东卷文)若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.答案{a

3、a1}解析设函数yax(a0,且a1}和函数yxa,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a1)有两个零点,就是函数yax(a0,且a1}与函数yxa有两个交点,由图象可知当0a1时两函数只有一个交点,不符合,当a1时,因为函数yax(a1)的图象过点(0,1),而直线yxa所过的点（0，

4、a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a

5、a1}.【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答3.(2009山东卷理)（本小题满分12分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理

6、厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。4k解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,BC2400x2,y(0x20)Cx2400x2x其中当x102时，y=0.065,所以k=949AB所以y表示成x

7、的函数为y(0x20)x2400x24989(2x)18x48(400x2)2（2）y,y',令y'0得x2400x2x3(400x2)2x3(400x2)218x48(400x2)2,所以x2160,即x410,当0x410时,18x48(400x2)2,即y'0所以函数为单调减函数,当46x20时,18x48(400x2)2,即y'0所以函数为单调增函数.所以当x410时,即当C点到49城A的距离为410时,函数y(0x20)有最小值.x2400x2解法二:（1）同

8、上.（2）设mx2,n400x2,49则mn400,y,所以mn4949mn14n9m11y()[13()](1312)当且仅当mnmn400400mn400164n9mn240即时取”=”.mnm16049下面证明函数y在(0,160)上为减函数,在(160,400)上为增函数.m400m4949设0

9、1212121249(mm)[]21mm(400m)(400m)12124(400m)(400m)9mm(mm)1212,21mm(400m)(400m)1212因为04×240×24012124(400m)(400m)9mm9mm<9×160×160所以12120,12mm(400m)(400m)12124(400m)(400m)9mm49所以(mm)12120即yy函数y在21mm(400m)(400m)12m400m1212(0,

10、160)上为减函数.49同理,函数y在(160,400)上为增函数,设160