初中几何辅助线大全-最全汇总.pdf

《初中几何辅助线大全-最全汇总.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，E∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定义）在△DBE与△CAE中ABOEE(公共角)∵DBECAE(已证)DCB

2、DAC(已知)图71∴△DBE≌△CAE（AAS）∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形对应边相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CEF分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时AED112BC图91CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA，CE

3、交于点F。∵BE⊥CF（已知）∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）在△BEF与△BEC中，12(已知)∵BEBE(公共边)BEFBEC(已证)1∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF（全等三角形对应边相等）2∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD与△ACF中BACCAF(已证)BDABFC(已证)AB＝AC(已知)∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE四、取线段中点构造

4、全等三有形。例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求证：∠ABC＝∠DCB。分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCNANDN(辅助线的作法)AND中∵AD(已知)ABDC(已知)BMC图1112∴△ABN≌△DCN（SAS

5、）∴∠ABN＝∠DCNNB＝NC（全等三角形对应边、角相等）在△NBM与△NCM中NB＝NC(已证)∵BM＝CM(辅助线的作法)NM＝NM(公共边)∴△NMB≌△NCM，(SSS)∴∠NBC＝∠NCB（全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN即∠ABC＝∠DCB。巧求三角形中线段的比值例1.如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。解：过点D作DG//AC，交BF于点G所以DG：FC＝BD：BC因为BD：DC＝1：3所以BD：BC＝1：4即DG：FC＝1：4，FC＝4DG因为DG：AF＝DE：AE又因为A

6、E：ED＝2：3所以DG：AF＝3：2即所以AF：FC＝：4DG＝1：6例2.如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC因为AF＝FC所以AF：AC＝1：2即EF：GC＝1：2，因为CG：DE＝BC：BD又因为BC＝CD所以BC：BD＝1：2CG：DE＝1：2即DE＝2GC因为FD＝ED－EF＝所以EF：FD＝小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！3例3.如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：

7、3，求AF：FD。解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。所以DF：BG＝CD：CB因为BD：DC＝1：3所以CD：CB＝3：4即DF：BG＝3：4，因为AF：BG＝AE：EB又因为AE：EB＝2：3所以AF：BG＝2：3即所以AF：DF＝例4.如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。解：过点D作DG//CE，交AB于点G所以EF：DG＝AF：AD因为AF＝FD所以AF：AD＝1：2图4即EF：DG＝1：2因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3，所以BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG因为