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1、第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节机动目录上页下页返回结束极限运算法则7/30/2021高等数学时,有一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，(P56,题4(2))解答见课件第二节例5机动目录上页下页返回结束类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.7/30/2021高等数学定理2.有界函数与无穷小的乘积是
2、无穷小.证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学例1.求解:利用定理2可知说明:y=0是的渐近线.机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.若机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学推论:若且则(P45定理5)利用保号性定理证明.说明:定理3可推
3、广到有限个函数相加、减的情形.提示:令机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学定理4.若则有提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)例2.设n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学为无穷小(详见P44)定理5.若且B≠0,则有证:因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学定理6.若则有提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理
4、3,4,5直接得出结论.机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学x=3时分母为0!例3.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.例4.若机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学例5.求解:x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学例6.求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学一般有如下结果：为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)机动目录上页下页返回结束7/30
5、/2021高等数学三、复合函数的极限运算法则定理7.设且x满足时,又则有证:当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学定理7.设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学例7.求解:令已知(见P46例3)∴原式=(见P33例5)机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学例8.求解:方法1则令∴原式方法2机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法
6、则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学3.求解法1原式=解法2令则原式=机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学4.试确
7、定常数a使解:令则故机动目录上页下页返回结束因此7/30/2021高等数学作业P481（5），（7），（9），（12），（14）2（1），（3）3（1）4第六节目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学备用题设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故机动目录上页下页返回结束7/30/2021高等数学
