高考数学总复习：第六篇 第3讲 等比数列及其前n项和课件.ppt

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1、第3讲　等比数列及其前n项和【2014年高考会这样考】考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等比中项的性质与证明．考点梳理(1)如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比都等于_______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母_______表示．1．等比数列的定义2同一个公比q(q≠0)(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an＝_______.(2)通项公式的推广：an＝am·_____，(n，m∈N*)．等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，其前n项和为2．等比

2、数列的通项公式3．等比数列的前n项和公式a1·qn－1qn－m4．等比数列及前n项和的性质(1)等比中项qn等比数列(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N＋），则______________.ak·al＝am·an一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，【助学·微博】两个防范(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨

3、论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．四种方法等比数列的判断方法有：(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列；(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．注　前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．A．2B．4C．8D．16考点自测1．(2011·辽宁)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()．答案BA．7B．5C．－5D．－72．(2012·新课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7

4、＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()．答案DA．10B．25C．50D．75解析因为a7·a12＝a8·a11＝a9·a10＝5，∴a8a9a10a11＝52＝25.答案B3．(2013·鹰潭模拟)在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝()．A．－4B．－1C．0D．1解析当n＝1时，a1＝4＋a，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1.当n＝1时，4＋a＝3，∴a＝－1.答案B4．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于()．(1)求证：数列{1＋an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；考向一

5、　等比数列的判定与证明【例1】►(2013·宁波十校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－2n(n∈N*)．[审题视点](1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为an与an－1的递推关系，再构造数列{1＋an}；(2)分组后用公式求和．(1)证明当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3an－2n－3an－1＋2(n－1)，即n≥2时，an＝3an－1＋2，从而有n≥2时，an＋1＝3(an－1＋1)．又2a1＝2S1＝3a1－2，得a1＝2，故a1＋1＝3≠0，故数列{1＋an}是首项为3，公比为3的等比数列，则an＋1＝3×3n－1

6、＝3n，故an＝3n－1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝17，则数列{an}的通项公式为________．[审题视点]建立首项a1和公比q的方程组求解．考向二　等比数列基本量的求解【例2】►(1)已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn是{an}的前n项和，若a1＝1,5S2＝S4，则a5＝________.对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要

7、注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．(2)在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论．解析∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，【训练2】(2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.(2)等比数列{an}中，q＝2，S99＝77，则a3＋a6＋…＋a99＝________.[审题视点](1)利用等比数列的性质：“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”；(2)把前99项分三组，再转化为a3＋a6＋…＋a9

8、9.考向三　等比数列的性质及应用【例3】►(1)等比